Etkileşim etkisi parametrik olmayan bir testle nasıl test edilir (örn. Permütasyon testi)?

İki kategorik / nominal değişkenim var. Her biri sadece iki farklı değer alabilir (bu yüzden toplamda 4 kombinasyonum var).

Her değer kombinasyonu bir dizi sayısal değerle birlikte gelir. Yani 4 numaram var. Daha somut hale getirmek için, sahip olduğum male / femaleve young / oldnominal değişkenler olduğumuzu weightve bağımlı sayısal "çıktı" olduğumu söyleyelim .

- ' maleden geçişin femaleortalama ağırlığı değiştirdiğini biliyorum ve bu değişiklikler istatistiksel olarak anlamlı. Böylece bir genderfaktörü hesaplayabilirim . Aynısı agedeğişken için de geçerlidir . - ' youngden geçişin oldortalama ağırlığı değiştirdiğini biliyorum ve ilgili agefaktörü hesaplayabilirim .

Şimdi, verilerin genç kadınlardan yaşlı erkeklere geçişin cinsiyet ve yaş faktörlerinin birleşiminden daha fazla olduğunu kanıtlayıp kanıtlamadığını görmek istiyorum. Başka bir deyişle, verilerin "2D etkiler" olduğunu veya başka bir deyişle yaş ve cinsiyet etkilerinin bağımsız olmadığını kanıtladığını bilmek istiyorum. Örneğin, erkekler için yaşlanmanın ağırlığı faktör 1.3 arttırır ve kadınlar için karşılık gelen faktör 1.1'dir.

Tabii ki bahsedilen iki faktörü (erkekler için yaş faktörü ve kadınlar için yaş faktörü) hesaplayabilirim ve bunlar farklıdır. Fakat bu farkın istatistiksel önemini hesaplamak istiyorum. Bu fark ne kadar gerçek.

Mümkünse parametrik olmayan bir test yapmak istiyorum. Dört seti karıştırarak, karıştırıp, yeniden bölerek ve bir şey hesaplayarak yapmak istediğim şeyi yapmak mümkün mü?

Etkileşim için parametrik olmayan testler vardır. Kabaca söylemek gerekirse, gözlemlenen ağırlıkları sıralamalarına göre değiştirir ve elde edilen veri setini heteroskedastik ANOVA olarak ele alırsınız. Örneğin, Brunner ve Puri'nin (2001) "Faktöriyel tasarımlarda parametrik olmayan yöntemler" konusuna bakın.

Ancak, ilgilendiğiniz parametrik olmayan etkileşim bu genellikte gösterilemez. Dedin:

Başka bir deyişle, verilerin "2D etkiler" olduğunu veya başka bir deyişle yaş ve cinsiyet etkilerinin bağımsız olmadığını kanıtladığını bilmek istiyorum. Örneğin, erkekler için yaşlanmanın ağırlığı faktör 1.3 arttırır ve kadınlar için karşılık gelen faktör 1.1'dir.

İkincisi imkansız. Parametrik olmayan etkileşim bir işaret değişikliği içermelidir, yani yaşlılığın büyümesi erkeklerin ağırlığını arttırır, ancak kadınların ağırlığını azaltır. Ağırlıkları monoton olarak dönüştürseniz bile böyle bir işaret değişikliği kalır. Ancak, ağırlık artışını faktör 1.1'e 1.3'e yakın olarak eşleyen verilerde monoton bir dönüşüm seçebilirsiniz. Tabii ki, istediğiniz kadar yakın olabiliyorsa hiçbir zaman önemli olmak için bir fark göstermeyeceksiniz.

İşaret değişikliği olmadan etkileşimlerle gerçekten ilgileniyorsanız, normal parametrik analize bağlı kalmalısınız. Orada, "farkı yutan" monoton dönüşümlere izin verilmiyor. Tabii ki, bu yine istatistiklerinizi modelleyerek ve yorumlayarak akılda tutulması gereken bir şey.

Yaş ve cinsiyetin etkilerinin sadece bireysel etkilerden daha fazla olduğuna inanıyorsanız, modelini düşünebilirsiniz. ( g e n d e r i ⋅ a g e i ) . $weight_i = \alpha \cdot age_i + \beta \cdot gender_i + \gamma \cdot (gender_i\cdot age_i).$$\gamma$katsayısı yaş ve cinsiyetin "2B" etkisinin boyutunu yakalar. Sen t-istatistik kontrol edebilirsiniz konusunda kabaca bir fikir edinmek için γ size modelinde gözlemlemek önemli ölçüde farklı olduğu γ = 0 .$\gamma$$\gamma$$\gamma = 0$

İşte bu ek çarpımsal terim ne yaptığını gösteren çok kaba bir grafik örneği .$gender_i\cdot age_i$

modelinde , temel olarak verilere basit bir köprü yerleştirmeye çalışıyoruz$response = x_1 + x_2$

Bu model, ortak değişkenlerde doğrusaldır, dolayısıyla yukarıdaki grafikte gördüğünüz doğrusal şekil.

$response = x_1 + x_2 + x_1\cdot x_2$$x_1$$x_2$

$\gamma = 0$

$\gamma$$\hat{\gamma}$$\hat{\gamma}$$50 \pm p\%$$2p\%$$\gamma$

$gender = 0$$age=0$$gender = 1$$age = 1$$gender = 0$$age = 1$$gender = 1$$age = 0$

$old.female$$b_1$$old.female$$young.male$$\alpha$$wt$$old.female$

$\dots$

Yukarıdaki örnekler bu nedenle bu sonuca varmanın aşırı karmaşık bir yoludur (gerçekten sadece dört grup aracını karşılaştırıyoruz), ancak etkileşimlerin nasıl çalıştığını öğrenmek için, bunun yararlı bir egzersiz olduğunu düşünüyorum. CV üzerinde sürekli bir değişkenin nominal bir değişkenle etkileşimi veya iki sürekli değişkenin etkileşimi hakkında başka çok iyi mesajlar vardır. Sorunuz parametrik olmayan testleri belirtmek için düzenlenmiş olsa da, probleminizi daha geleneksel (yani parametrik) bir yaklaşımdan düşünmek yararlı olduğunu düşünüyorum, çünkü hipotez testine parametrik olmayan yaklaşımların çoğu aynı mantığa sahip, ancak genellikle spesifik dağılımlar hakkında daha az varsayım.

$wt$

$old.men$$young.women$

"Önemli" etkileşimlerin kısa kenarı

$x_1$$x_2$$x_1$$x_2$Ama bir kez daha, sadece 0 veya 1 değerlerini alabilen iki ortak değişkenimiz varsa, bu aslında dört grup aracına baktığımız anlamına gelir.

Çalışılan Örnek

Etkileşim modelinin sonuçlarını Dunn testinin sonuçlarıyla karşılaştıralım. İlk olarak, (a) erkeklerin kadınlardan daha ağır olduğu, (b) genç erkeklerin yaşlı erkeklerden daha az ağır olduğu ve (c) genç ve yaşlı kadınlar arasında fark olmadığı bazı veriler üretelim.

set.seed(405)
old.men<-rnorm(50,mean=80,sd=15)
young.men<-rnorm(50,mean=70,sd=15)
young.women<-rnorm(50,mean=60,sd=15)
old.women<-rnorm(50,mean=60,sd=15)
cat<-rep(1:4, c(50,50,50,50))
gender<-rep(1:2, c(100,100))
age<-c(rep(1,50),rep(2,100),rep(1,50))
wt<-c(old.men,young.men,young.women,old.women)
data<-data.frame(cbind(wt,cat,age,gender))
data$cat<-factor(data$cat,labels=c("old.men","young.men","young.women","old.women"))
data$age<-factor(data$age,labels=c("old","young"))
data$gender<-factor(data$gender,labels=c("male","female"))

$wt$

mod<-lm(wt~age*gender,data)
library(effects)
allEffects(mod)

 model: wt ~ age * gender

 age*gender effect
       gender
age         male   female
  old   80.61897 57.70635
  young 67.78351 56.01228

Marjinal etkiniz için standart bir hata veya güven aralığı hesaplamanız mı gerekiyor? Yukarıda başvurulan 'efektler' paketi bunu sizin için yapabilir, ancak daha da iyisi, Aiken ve West (1991) çok daha karmaşık etkileşim modelleri için bile formülleri verir. Onların masaları burada , Matt Golder'ın çok iyi yorumlarıyla birlikte rahatça basılmıştır .

Şimdi Dunn testini uygulayalım.

#install.packages("dunn.test")
dunn.test(data$wt, data$cat, method="bh")

Kruskal-Wallis chi-squared = 65.9549, df = 3, p-value = 0


                           Comparison of x by group                            
                             (Benjamini-Hochberg)                              
Col Mean-|
Row Mean |    old.men   young.me   young.wo
---------+---------------------------------
young.me |   3.662802
         |    0.0002*
         |
young.wo |   7.185657   3.522855
         |    0.0000*    0.0003*
         |
old.wome |   6.705346   3.042544  -0.480310
         |    0.0000*    0.0014*     0.3155

Kruskal-Wallis ki kare test sonucundaki p değeri, gruplarımızdan en az birinin 'farklı bir popülasyondan geldiğini' göstermektedir. Grup-grup karşılaştırmaları için en üstteki sayı Dunn'ın z-test istatistiğidir ve en alttaki sayı çoklu karşılaştırmalar için ayarlanmış bir p-değeridir. Örnek verilerimiz oldukça yapay olduğundan, çok sayıda küçük p değerine sahip olmamız şaşırtıcı değildir. Ancak genç ve yaşlı kadınlar arasındaki sağ alt karşılaştırmaya dikkat edin. Test, bu iki grup arasında fark olmadığı yönündeki sıfır hipotezini doğru bir şekilde desteklemektedir.

$\dots$

GÜNCELLEME: Diğer cevaplar göz önüne alındığında, bu cevap, bunun herhangi bir doğrusal olmayan modelleme gerektirdiği veya OP'nin iki ikili ortak değişkene, yani dört gruba özgü bir örnek verildiği - işareti parametrik olmayan bir şekilde asesses olarak değişir. Örneğin, yaş sürekli olsaydı, bu soruna yaklaşmanın başka yolları olurdu, ama bu OP tarafından verilen örnek değildi.

Yani şu rastgele değişkenlere sahipsiniz:

• $A$$\mathbb{N}$
• $S$$\{\text{male},\text{female}\}$
• $W$$]0, \infty[$

Ve şu olasılık kütle / yoğunluk fonksiyonlarına sahipsiniz:

• $f_W$$W$
• $f_{W,A}$$W,A$
• $f_{W,S}$$W,S$
• $f_{W,A,S}$$W,A,S$

$w$$a$$s$

• $f_{W,A}(w,a) \ne f_W(w)$
• $f_{W,S}(w,s) \ne f_W(w)$

$w$$a$$s$

Ancak, yukarıdaki gerçek ortak PDF'leri bilmiyorsunuz. Kendinizi parametrik olmayan yöntemlerle sınırlamak istediğiniz için, şimdi göreviniz şu parametrik olmayan tahminleri bulmaktır:

• $\hat f_{W,A}(w,a)$
• $\hat f_{W,S}(w,s)$
• $\hat f_{W,A,S}(w,a,s)$

Ve sonra şunu göster:

• Yoğunluk tahminleriniz yeterince doğrudur.
• $\hat f_{W,A,S}(w,a,s) \ne \hat f_{W,A}(w,a) \ne \hat f_{W,S}(w,s)$
• $\hat f_{W,A,S}(w,a,s) = \hat f_{W,A}(w,a) = \hat f_{W,S}(w,s)$

Bu etkileşim etkilerini kontrol ederdi . Doğrusal Modelleme böyle bir şeyi kontrol edebilir ama parametrik değildir, bu yüzden sanırım başka bir araç kullanılmalıdır.

Nasıl kontrol ediyoruz ageve genderetkisi şimdiye kadar?

EDIT: Bu cevap size yardımcı olacak gibi görünüyor