Çok sayıda bağımsız Cauchy rastgele değişkeninin toplamı Normal mi?

Merkezi Limit Teoremi ile, büyük bir bağımsız rasgele değişkenlerin toplamının olasılık yoğunluk fonksiyonu bir Normal'e eğilim gösterir. Bu nedenle çok sayıda bağımsız Cauchy rastgele değişkeninin toplamının da Normal olduğunu söyleyebilir miyiz?

random-variable central-limit-theorem cauchy

— Urvah Şabat
kaynak

Öğrendiğiniz Merkezi Limit Teoreminin versiyonunun hipotezleri nelerdir?

— Brian Borchers

Hayır.

Merkezi limit teoreminin merkezi varsayımlarından birini kaçırıyorsunuz:

... sonlu varyanslı rastgele değişkenler ...

Cauchy dağılımının sınırlı bir varyansı yoktur.

Cauchy dağılımı, tanımlanmış ortalama, varyans veya daha yüksek momentlere sahip olmayan bir dağılım örneğidir.

Aslında

Eğer birbirinden bağımsız ve özdeş dağılmış tesadüfi değişkenler, standart Cauchy dağılımı, her biri daha sonra örnek ortalamasıdır , aynı standart Cauchy dağılımına sahiptir. $X_1, \ldots, X_n$ $\frac{X_1 + \cdots + X_n}{n}$

Yani sorunuzdaki durum oldukça açık bir şekilde kesildi, aynı Cauchy dağılımını geri almaya devam ediyorsunuz.

Bu istikrarlı bir dağıtım kavramı değil mi?

Evet. Bir (kesinlikle) kararlı dağıtım (veya rastgele değişken), iki iid kopyanın doğrusal kombinasyonunun orijinal dağılımla orantılı olarak dağıtıldığı bir dağılımdır. Cauchy dağılımı gerçekten de durağan. $a X_1 + b X_2$

(*) Vikipedi'den alıntılar.

— Matthew Drury
kaynak

vay. CLT konseptimi düzeltmeliyim. cevap için çok teşekkürler.

— urvah shabbir

Cauchy bu alanda gerçekten iyi bir örnektir. Kuyruklarda, ortalamanın onu ortalamaya doğru çekmediği, ancak aykırı değerlerin kuyrukta kütlenin birikmesine neden olacağı kadar yeterli kütle yoktur. CLT'nin başarısız olduğu sınırda hakkı var.

— Matthew Drury

"CLT'nin başarısız olduğu sınırda." Tam olarak değil - 2 serbestlik derecesine sahip bir dağılımında sonlu, ancak sonsuz olurken Cauchy'da hiçbiri yoktur. Cauchy için, büyük sayıların yasası bile geçerli değildir!

t

$t$

E (| X |)

$E(|X|)$

E (X^{2})

$E(X^2)$

— Andrew M

Ohhh, ilginç! Sanırım orada gerçekten biraz nüans var.

— Matthew Drury

Doğru hatırlıyorsam aslında t2 ve Cauchy için karşılık gelen bir sınır teoremi var. Ben bir fonksiyonu olarak doğru standardizasyon uygun bir seçim hatırlayacak olursak T2 en hakkındaki normale yakınsak - çok yavaş - Cauchy için biz bu örnek araçlarının başladığımız aynı Cauchy vardır varken.

n

$n$

\bar{X} - μ

$\bar{X}-\mu$

— Glen_b