Lognormal dağılımın moment tahmincisi yanlılığı

Bir lognormal dağılımın örneklemesini ve örneklemesini ve anları anlarını iki yöntemle tahmin etmeye çalışan bazı sayısal deneyler yapıyorum :$X\sim\mathcal{LN}(\mu, \sigma)$$\mathbb{E}[X^n]$

1. örnek ortalamasına bakmak$X^n$
2. Tahmin ve için örnek bir yöntem kullanarak , ve daha sonra bir lognormal dağılım için, var olduğu gerçeğini kullanarak .$\mu$$\sigma^2$$\log(X), \log^2(X)$$\mathbb{E}[X^n]=\exp(n \mu + (n \sigma)^2/2)$

Soru şudur :

Deneysel olarak, ikinci yöntemin, örnek sayısını sabit faktörden çok daha iyi sonuç verdiğini ve bazı faktör T ile değerini artırdığımı tespit ediyorum . Bu durum için basit bir açıklama var mı?$\mu, \sigma^2$

X ekseninin T olduğu bir rakam ekliyorum, y ekseni ise değerlerini karşılaştırarak değerleridir. Tahmini değerlere (turuncu çizgi). yöntem 1 - mavi noktalar, yöntem 2 - yeşil noktalar. y ekseni günlük ölçeğinde$\mathbb{E}[X^2]$$\mathbb{E}[X^2] = \exp(2 \mu + 2 \sigma^2)$

DÜZENLE:

Aşağıda, bir T için sonuçları elde etmek üzere asgari bir Mathematica kodu verilmiştir:

   ClearAll[n,numIterations,sigma,mu,totalTime,data,rmomentFromMuSigma,rmomentSample,rmomentSample]
(* Define variables *)
n=2; numIterations = 10^4; sigma = 0.5; mu=0.1; totalTime = 200;
(* Create log normal data*)
data=RandomVariate[LogNormalDistribution[mu*totalTime,sigma*Sqrt[totalTime]],numIterations];

(* the moment by theory:*)
rmomentTheory = Exp[(n*mu+(n*sigma)^2/2)*totalTime];

(*Calculate directly: *)
rmomentSample = Mean[data^n];

(*Calculate through estimated mu and sigma *)
muNumerical = Mean[Log[data]]; (*numerical \[Mu] (gaussian mean) *)
sigmaSqrNumerical = Mean[Log[data]^2]-(muNumerical)^2; (* numerical gaussian variance *)
rmomentFromMuSigma = Exp[ muNumerical*n + (n ^2sigmaSqrNumerical)/2];

(*output*)
Log@{rmomentTheory, rmomentSample,rmomentFromMuSigma}

Çıktı:

(*Log of {analytic, sample mean of r^2, using mu and sigma} *)
{140., 91.8953, 137.519}

yukarıda, ikinci sonuç, diğer iki sonucun altında olan örnek ortalamasıdır.$r^2$

O zamandan beri bu sonuçlarda şaşırtıcı bir şey var.

1. İlk yöntem tarafsız bir tahmincisi içerir , yani sahip bunun anlamı olarak. Bu nedenle mavi noktalar beklenen değer etrafında olmalıdır (turuncu eğri);$\mathbb{E}[X^2]$ E[X2 $$\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N X_i^2$$ $\mathbb{E}[X^2]$
2. ikinci yöntem, , yani önyargılı bir tahmincisidir. ve tarafsız tahmin edicileri olan ve ve sırasıyla yeşil noktalar hizalanacak böylece garip turuncu eğri ile.D [ exp ( n μ + n 2 σ 2 / 2 ) ] > exp ( n μ + ( n σ ) 2 / 2 ) $\mathbb{E}[X^2]$ $$\mathbb{E}[\exp(n \hat\mu + n^2 \hat{\sigma}^2/2)]>\exp(n \mu + (n \sigma)^2/2)$$ $\hat\mu$$\hat\sigma²$$\mu$$\sigma²$

fakat sayısal hesaplamalardan değil, sorundan kaynaklanıyorlar: R deneyini tekrarladım ve aşağıdaki resmi aynı renk koduyla ve bölünmüş her tahminciyi temsil eden ve s 'lerin aynı dizisiyle gerçek beklenti ile:$\mu_T$$\sigma_T$

İşte karşılık gelen R kodu:

moy1=moy2=rep(0,200)
mus=0.14*(1:200)
sigs=sqrt(0.13*(1:200))
tru=exp(2*mus+2*sigs^2)
for (t in 1:200){
x=rnorm(1e5)
moy1[t]=mean(exp(2*sigs[t]*x+2*mus[t]))
moy2[t]=exp(2*mean(sigs[t]*x+mus[t])+2*var(sigs[t]*x+mus[t]))}

plot(moy1/tru,col="blue",ylab="relative mean",xlab="T",cex=.4,pch=19)
abline(h=1,col="orange")
lines((moy2/tru),col="green",cex=.4,pch=19)

Bu nedenle, ikinci ampirik anın, ve arttıkça bir çöküşü söz konusudur; bu, bahsedilen ikinci ampirik anın , arttıkça varyansındaki büyük artışa atfediyorum .$\mu$$\sigma$$\mu$$\sigma$

Bu meraklı fenomeni açıklamam şudur: açıkça in ortalaması olsa da, merkezi bir değer değildir: aslında nin medyanı eşittir . Rastgele değişken temsil ederken olarak , açıktır ki, isimli büyük Yeterince, rasgele değişkeni neredeyse hiçbir zaman büyüklüğünde değildir . Diğer bir deyişle, eğer bir$\mathbb{E}[X^2]$$X^2$$X^2$$e^{2\mu}$$X^2$$\exp\{2\mu+2\sigma\epsilon\}$$\epsilon\sim\mathcal{N}(0,1)$$\sigma$$\sigma\epsilon$$\sigma^2$$X$$\mathcal{LN}(\mu,\sigma)$

$$\begin{align*}\mathbb{P}(X^2>\mathbb{E}[X^2])&=\mathbb{P}(\log\{X^2\}>2\mu+2\sigma^2)\\&=\mathbb{P}(\mu+\sigma\epsilon>\mu+\sigma^2)\\&=\mathbb{P}(\epsilon>\sigma)\\ &=1-\Phi(\sigma)\end{align*}$$ , keyfi olarak küçük olabilir.

Hem user99218 hem de Xi'an'ın arazilerinin tutarlı olduğunu gösteren bazı incirleri atacağımı düşündüm. Şekil 1, kullanıcının 1818 yaptığını çizmiştir ve Şekil 2 (aynı verilere dayanarak), Xi'an'ın komploları için yaptığı şeyi yapmaktadır. Aynı sonuç, farklı sunum.

Olan şu ki, T arttıkça, varyanslar çok büyük hale geliyor ve tahminci , Powerball Lotto'nun popülasyon ortalamasını Loto biletleri satın alarak tahmin etmeye çalışıyor! Zamanın büyük bir yüzdesi, getiriyi küçümseyecek (hiçbir örnek gözlem jackpotu çarpmadığı için) ve sürenin küçük bir yüzdesini alacaksınız (büyük olasılıkla örnekte bir büyük ikramiye kazanan olduğu için). Örnek ortalama tarafsız bir tahmin ancak binlerce ve binlerce çizim ile bile kesin olması beklenmiyor! Aslında, lotoyu kazanmanın zorlaştığı ve zorlaştığı için, örnek ortalamanız nüfus ortalamasının altında olacak ve zamanın büyük çoğunluğu.$\frac{1}{n} \sum_i x_i^2$

Diğer Yorumlar:

1. Gelmez bir yansız tahmin değil tahmin edicisi yakın olması bekleniyor! Mavi noktaların beklentiye yakın olması gerekmez . Örneğin. rastgele seçilen tek bir gözlem popülasyon ortalamasının tarafsız bir tahminini verir, ancak bu tahmin edicinin yakın olması beklenmez.
2. Mesele varyans kesinlikle astronomik hale geldikçe ortaya çıkıyor. Varyansın saçmalık haline gelmesiyle, ilk yönteme yönelik tahminler sadece birkaç gözlemdir. Aynı zamanda, küçük, küçük, büyük, büyük bir sayı olasılığını yaşamaya başlarsınız ...
3. Bu sezgisel bir açıklamadır. Xi'an'ın daha resmi bir türevi var. Sonucu , büyüdükçe, binlerce gözlemde bile ortalamanın üzerinde bir gözlem çizmenin inanılmaz derecede olası olduğunu ima ediyor . "Lotoyu kazanmak" dilim, olan bir olayı ifade eder . $P(X^2 > E[X^2]) = 1 - \Phi(\sigma)$$\sigma$$X^2 > E[X^2]$