Tehlike oranının arkasındaki sezgi

Tehlike oranının tanımı olarak görev yapan denklem hakkında kafam karıştı. Tehlike oranının ne olduğu hakkında bir fikrim var, ama denklemin bu sezgiyi nasıl ifade ettiğini görmüyorum.

Eğer bir zaman aralığına birinin ölüm zamanı noktasını temsil eden bir rastgele değişken . O zaman tehlike oranı:[ 0 , T $x$$[0,T]$

$$h(x)=\frac{f(x)}{1-F(x)}$$

Burada zaman noktasına kadar ölüm olasılığını temsil eder , bir zaman noktası kadar hayatta olma olasılığını temsil eder , ve noktası ölüm olasılığı x .x ∈ [ 0 , T ] 1 - F ( x ) x ∈ [ 0 , T ] f ( x ) $F(x)$$x\in[0,T]$
$1-F(x)$$x\in[0,T]$
$f(x)$$x$

$f(x)$ nin sağkalım oranına bölünmesi bir sonraki \ Delta t'de anlık ölüm olasılığının sezgisini nasıl açıklar $\Delta t$? Tehlike oranının hesaplanmasını önemsiz kılan f (x) değil $f(x)$mi?

$X$ ölüm zamanını (veya daha az morbid bir tanımlamayı tercih ederseniz başarısızlık zamanını) göstermesine izin verin . $X$ , yoğunluk fonksiyonu f (t) yalnızca sıfırdan farklı (0, \ infty) olan sürekli bir rastgele değişken olduğunu varsayalım . Şimdi, bildirim olmalı durumun böyle f (t) uzakta zayıflar 0 olarak t \ üzere \ infty çünkü eğer f (t) çürüme uzak belirtildiği gibi değil, daha sonra \ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ \ infty f (t) \, \ mathrm dt = 1 tutamaz. Böylece, f (T) ' nin T zamanında ölüm olasılığı olduğu fikriniz (aslında,$f(t)$$(0,\infty)$$f(t)$$0$$t \to \infty$$f(t)$$\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f(t)\,\mathrm dt = 1$$f(T)$$T$$f(T)\Delta t$ yani (yaklaşık olarak) kısa aralıkta ölüm olasılığı $(T, T+\Delta t]$ uzunluk = $\Delta t$ ) gibi akıl almaz ve inanılmaz sonuçlara yol açar

Gelecek ay otuz yaşındayken ölme olasılığınız, doksan sekiz yaşından daha büyüktür.

her $f(t)$ şekildedir $f(30) > f(98)$ .

Nedeni (veya ) bakmak için "yanlış" olasılık olduğunu değerinin olmasıdır Sadece olanlara ilgi olduğunu hayatta yaşta (ve hala düzenli olarak okumaya yetecek kadar zihinsel olarak uyanık olun!) Bakılması gereken , gelecek ay içinde yaşındaki bir ölme olasılığıdır , yani,f ( T ) Δ t f ( T ) T $f(T)$$f(T)\Delta t$$f(T)$$T$$T$

$$\begin{align}P\{(X \in (T, T+\Delta t] \mid X \geq T\} &= \frac{P\{\left(X \in (T, T+\Delta t]\right) \cap \left(X\geq T\right)\}}{P\{X\geq T\}} & \\ \scriptstyle{ \text{ definition of conditional probability}}\\ &= \frac{P\{X \in (T, T+\Delta t]\}}{P\{X\geq T\}}\\ &= \frac{f(T)\Delta t}{1-F(T)} & \\ \scriptstyle{ \text{because }X\text{ is a continuous rv}} \end{align}$$

Seçimi şu sonuca vb on beş gün, bir hafta, bir gün, bir saat, bir dakika, olmaya o (anlık) tehlike hızı bir için eskidir -yıl$\Delta t$$T$

$$h(T) = \frac{f(T)}{1-F(T)}$$

anlamında yaklaşık olarak bir sonraki femtosaniye ölüm olasılığı a eski yıllık bir olduğunuT f ( T ) Δ $(\Delta t)$$T$$\displaystyle \frac{f(T)\Delta t}{1-F(T)}.$

entegre olan yoğunluğunun aksine , integralinin ayrılması gerektiğini unutmayın. Bunun nedeni, CDF nin tehlike oranı ile ilişkili olmasıdır.1 ∫ ∞ 0 sa ( t $f(t)$$1$$\displaystyle \int_0^\infty h(t)\, \mathrm dt$ $F(t)$

$$F(t) = 1 - \exp\left(-\int_0^t h(\tau)\, \mathrm d\tau\right)$$ ve , olmalıdır veya tehlike oranı integrali, daha resmi ifade gerekir sapmak: orada hiçbir potansiyel diverjans önceki bir düzenleme iddia gibi.$\lim_{t\to \infty}F(t) = 1$ $$\lim_{t\to \infty} \int_0^t h(\tau)\, \mathrm d\tau = \infty,$$

Tipik tehlike hızları zamanın artan işlevleridir, ancak sabit tehlike hızları (üstel ömürler) mümkündür. Bu tür tehlike oranlarının her ikisinin de açıkça farklı integralleri vardır. Daha az yaygın bir senaryo (şeylerin şarapla olduğu gibi yaşla birlikte iyileştiğine inananlar için) zamanla azalan, ancak integralin ayrışmasına yetecek kadar yavaş bir tehlike oranıdır.

Erkekler için (ilk) evlilik insidansı ile ilgilendiğinizi düşünün. Diyelim ki, 20 yaşında evlilik insidansına bakmak için o yaşta evli olmayan kişilerin bir örneğini seçecek ve gelecek yıl içinde evlenip evlenmeyeceklerini göreceksiniz (21 yaşına gelmeden).

İçin kabaca bir tahmin alabilir oranı olarak 20 yaşında tek bir çocuğunuzun örneğinden evlenen kişilerin, yani

$$P(\mathrm{marry\,\, before\,\, 21}| \mathrm{not\,\, married \,\,at\,\, 20})$$ $$\frac{N(\mathrm{married \,\,before \,\,21\,\, and \,\, not\,\,married\,\, at \,\, 20})}{N(\mathrm{not\,\, married\,\, at\,\, 20})}$$

Yani temelde bu sadece koşullu olasılık tanımını kullanıyor, Şimdi, yaş birimini günlerce küçülterek düşünün. Yani 7300 günlük evlenme sıklığı nedir? Sonra aynısını yaparsınız, ancak 7300 günlük tüm bireyleri araştırın ve günün sonundan önce kimin evlendiğine bakın. Eğer evlilikte rastgele değişken yaş, o zaman yazabilirim ile aynı mantık tarafından.

$$P(X|Y) = \frac{P(X,Y)}{P(Y)}.$$ $T$ $$P(T \leq 7301)| T \geq 7300) = \frac{P(T \in [7300, 7301))}{P(T \geq 7300)}$$

Bu durumda tehlike , evli olmayan bir kişi için yaşındayken anlık evlilik olasılığı olacaktır . Bunu olarak yazabiliriz $t$

$$h(t) dt= P(T \in [t, t+dt) | T\geq t) = \frac{P(T \in[t, t+dt))}{P(T \geq t)}$$

$f(x)$ ölüm olasılığı değil, olasılık yoğunluğu; Olasılık yoğunluğu o zaman birimi boyunca sabit kalırsa, bir sonraki zaman birimi içinde beklenen ölme sayınız.

Bir sorun olduğuna dikkat edin: daha önce öldüğünüzde ölme olasılığınız oldukça problemlidir. O ölme olasılığını hesaplamak için daha mantıklı Yani şartlı bugüne kadar hayatta olan üzerinde. o kadar hayatta olmanın olasılık t böylece olasılığı ile olasılık yoğunluğu bölünmesi, bize daha önce öldüğü değil üzerindeki zaman koşullu bir sonraki birim içinde ölecek kez beklenen numarası alacak. Tehlike oranı budur.$1-F(t)$$t$