Bir dizi rasgele değişken minimumunun dağılımı nasıldır?

Eğer aynı şekilde dağıtılmış bağımsız değişkenlerse, genel olarak dağılımı hakkında ne söylenebilir ?$X_1, ..., X_n$$\min(X_1, ..., X_n)$

KTL Eğer $X_i$ ile gösterilir $F(x)$ , daha sonra en az ED ile verilmektedir $1-[1-F(x)]^n$ .

KTL Eğer $X_i$ ile gösterilir $F(x)$ , daha sonra en az CDF ile verilmektedir $1-[1-F(x)]^n$ .

Akıl: verilen rastgele değişkenler, olasılık en az biri anlamına gelir daha küçüktür .$n$$P(Y\leq y) = P(\min(X_1\dots X_n)\leq y)$$X_i$$y$

En az bir olasılık daha küçüktür her bir eksi olasılık eşdeğerdir daha büyük olan , yani .$X_i$$y$$X_i$$y$$P(Y\leq y) = 1 - P(X_1 \gt y,\dots, X_n \gt y)$

Eğer 'in bağımsız aynı şekilde dağıtılmış, tüm bu olasılık daha büyük olan olan . Bu nedenle, orijinal olasılık .$X_i$$X_i$$y$$[1-F(y)]^n$$P(Y \leq y) = 1-[1-F(y)]^n$

Örnek : deyin , sonra sezgisel olarak olasılığı eşit olmalıdır (minimum değer her zaman beri 1'den az olacaktır) tümü için ). Bu durumda böylece olasılık her zaman 1'dir.$X_i \sim \text{Uniform} (0,1)$$\min(X_1\dots X_n)\leq 1$$0\leq X_i\leq 1$$i$$F(1)=1$

Rob Hyndman, sabit bir n için kesin cevabı verdi. Büyük n için asimptotik davranışla ilgileniyorsanız, bu aşırı değer teorisi alanında ele alınmaktadır . Olası sınırlayıcı dağılımların küçük bir ailesi vardır; örneğin bu kitabın ilk bölümlerine bakınız .

Özel durumlarda 1- (1-F (x)) ^ n cevabının doğru olduğunu düşünüyorum. Özel durumlar, rv'nin pmf'sinin rv alanı için bir formüle dayanması şartıdır. Yukarıda belirtilen alanın farklı kısımlarında farklı ise, yukarıda belirtilen formülün gerçek simülasyon sonuçlarından biraz sapması gerekir.