Örnek korelasyon katsayısı popülasyon korelasyon katsayısının tarafsız bir tahmincisi midir?

un için tarafsız bir tahmin edici olduğu doğru mu? Yani, $R_{X,Y}$ $\rho_{X,Y}$

E [R_{X, Y}] = ρ_{X, Y} ?

$\mathbf{E}\left[R_{X,Y}\right]=\rho_{X,Y}?$

Değilse, için tarafsız bir tahminci nedir? (Belki de kullanılan standart bir tarafsız tahminci var mı? Ayrıca, taraflı örnek varyansının basitçe ile çarpılmasını basit bir şekilde ayarladığımız tarafsız örnek varyansına benzer mi?) $\rho_{X,Y}$ $\frac{n}{n-1}$

Nüfus korelasyon katsayısı örnek korelasyon katsayısı

ρ_{X, Y} = \frac{E [(X - μ_{X}) (Y - μ_{Y})]}{\sqrt{E [{(X - μ_{X})}^{2}]} \sqrt{E [{(Y - μ_{Y})}^{2}]}},

$\rho_{X,Y}=\frac{\mathbf{E}\left[\left(X-\mu_{X}\right)\left(Y-\mu_{Y}\right)\right]}{\sqrt{\mathbf{E}\left[\left(X-\mu_{X}\right)^{2}\right]}\sqrt{\mathbf{E}\left[\left(Y-\mu_{Y}\right)^{2}\right]}},$

R_{X, Y} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X}) (Y_{i} - \bar{Y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \bar{X})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(Y_{i} - \bar{Y})}^{2}}} .

$R_{X,Y}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2}}}.$

correlation

— Kenny LJ
kaynak

tahmin edicileri hakkında (biraz benzer) bir soru .

ρ

$\rho$

— ttnphns

"Tarafsız tahmin edicinin ne olduğu" sorusu bir tane olduğunu ve sadece bir tane olduğunu varsayar. A priori , bunu düşünmek için herhangi bir neden yok gibi görünüyor.

$\qquad$

— Michael Hardy

@MichaelHardy: Bunu düzelttim. İşaret ettiğiniz için teşekkürler.

— Kenny LJ

Sadece bu konu üzerine tökezledi ve bu ilginç bir okuma olabilir düşünüyorum sciencedirect.com/science/article/pii/S0167715298000352 (henüz kendim okumadım tbh)

— mart

minimum varyans tarafsız tahmincisi: projecteuclid.org/euclid.aoms/1177706717

— Sextus Empiricus

Bu kolay bir soru değildir, ancak bazı ifadeler mevcuttur. Özellikle Normal dağılımdan bahsediyorsanız, cevap HAYIR ! Sahibiz

E \hat{ρ} = ρ [1 - \frac{(1 - ρ^{2})}{2 n} + O (\frac{1}{n^{2}})]

$\mathbb{E} \widehat{\rho} = \rho \left[1 - \frac{\left(1-\rho^2 \right)}{2n} + O\left( \frac{1}{n^2} \right) \right]$

Lehmann'ın Nokta Tahmin Teorisi'nin 2. Bölümünde görüldüğü gibi. Yukarıdaki ifadede sonsuz sayıda terim vardır, ancak aslında den daha az eşit veya daha düşük terim terimleri göz önüne alınmaktadır . $n^{-2}$

Bu formül örnek korelasyon katsayısının beklendiği gibi sadece yani bağımsızlık için tarafsız olduğunu gösterir . ile dejenere vakalar için de , ama bu çok ilginç değil. Genel durumlarda önyargı sıradan olacaktır ancak tüm makul numune boyutları için oldukça küçük olacaktır. $\rho = 0$ $|\rho| = 1$ $\frac{1}{n}$

Normal dağılımlarda örnek korelasyon katsayısı mle'dir, yani asimptotik olarak tarafsızdır. Yukarıdaki formülden . Bunun, sınırlı yakınsaklık teoremi yoluyla örnek korelasyon katsayısının sınırlılığından ve tutarlılığından zaten geldiğini unutmayın. $\mathbb{E} \widehat{\rho} \to \rho$

— JohnK
kaynak

Yukarıdaki ifadede sonsuz sayıda terim olabilir , ancak "sonsuz terimler", her biri sonsuz olan bazı terimler olabilir.

$\qquad$

— Michael Hardy

İki değişkenli bir popülasyondaki tüm noktaların sıfır olmayan eğimle düz bir çizgi üzerinde olduğunu varsayalım. Daha sonra herhangi bir örnekteki tüm noktalar bunu yapar. Bu nedenle, eğer nüfus korelasyonunun mutlak değeri varsa böylece örnek korelasyon .

| ρ | = 1

$|\rho| = 1$

| r | \equiv 1

$|r| \equiv 1$

— Nick Cox

| 1 |

$|1|$

İlgili bir soru için, 2D normalin dışında başka dağılımlar için benzer sonuçların olup olmadığını bilen var mı?

— Riemann1337