Bir olayın “eninde sonunda gerçekleştiğini” söylemek ne anlama geliyor?

tamsayılarında başlangıç durumuna sahip 1 boyutlu rastgele bir yürüyüş düşünün : $\mathbb{Z}$ $x\in\mathbb{Z}$

S_{n} = x + \sum_{i = 1}^{n} ξ_{i}

$\begin{equation} S_n=x+\sum^n_{i=1}\xi_i \end{equation}$

burada artışları , öyle ki . $\xi_i$ $P\{\xi_i=1\}=P\{\xi_i=-1\}=\frac{1}{2}$

Biri kanıtlanabilir (1)

P^{x} {S_{n} reaches +1 eventually} = 1

$\begin{equation} P^x{\{S_n \text{ reaches +1 eventually}\}} = 1 \end{equation}$

burada alt simge başlangıç konumunu belirtir.

Let durumuna ilk geçiş zamanı . Başka bir deyişle, . Ayrıca kanıtlanabilir (2) $\tau$ $+1$ $\tau:=\tau(1):=\min\{n\geq0:S_n=1\}$

E τ = + \infty

$\begin{equation} E\tau = +\infty \end{equation}$

Her iki kanıt da http://galton.uchicago.edu/~lalley/Courses/312/RW.pdf adresinde bulunabilir . Makaleyi okuyarak her iki kanıtı da anlıyorum.

Ancak benim sorum genel olarak olduğu gibi ilk ifadede de "nihayetinde" anlamının ne olduğu. Bir şey "eninde sonunda" olursa, sınırlı bir zamanda gerçekleşmesi gerekmez, değil mi? Eğer öyleyse, gerçekleşmeyen bir şeyle "sonunda" gerçekleşmeyen bir şey arasındaki fark nedir? (1) ve (2) ifadeleri bir anlamda bana karşı çıkıyorlar. Bunun gibi başka örnekler var mı?

DÜZENLE

Bunun için söz, yani "en sonunda" olur şeyin basit bir örnek için bir motivasyon eklemek istiyorum, ama birlikte sonlu beklenen bekleme süresi.

\begin{aligned} P {walker eventually moves left} & = 1 - P {walker never moves left} \\ = 1 - lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n}} \\ = 1 \end{aligned}

$\begin{split} P\{\text{walker eventually moves left}\} & = 1 - P\{\text{walker never moves left}\} \\ & = 1-\lim_{n\to\infty} \frac{1}{2^n} \\ & = 1 \end{split}$

Bu nedenle, yürüteçin "eninde sonunda" sola hareket edeceğini biliyoruz ve bunu yapmadan önce beklenen bekleme süresi . $1/(1/2)=2$

"Sonunda" ama sonsuz beklenen "bekleme süresi" ile olan bir şey görmek hayal gücüm için oldukça zorlayıcıydı. @ Whuber'ın yanıtının ikinci yarısı başka bir harika örnektir.

— Ye Tian
kaynak

eninde sonunda hiçbir zaman sonlu zaman anlamına gelmez. Tam olarak zıt olan şey budur:

— Ta

Peki Cauchy dağılımının kanonik örneği en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_distribution .

— seanv507

@ seanv507 - Evet Cauchy ortalama dağılım (her ne kadar olarak Cauchy DBN örnek bir ortalama yaklaşık atlayacaktır Sonsuz yerine tanımlanmamış sonsuza yaklaşan sürekli + sonsuzluk yakınsama yerine). Pareto dağılımını ( en.wikipedia.org/wiki/Pareto_distribution ), şekil parametresi ve yine de iyi tanımlanmış bir olasılık dağıtım fonksiyonuna sahip olduğunda ortalama = Infinity olduğunu düşünüyordum .

n

$n$

α <= 1

$\alpha <= 1$

— RobertF

@RobertF teşekkürler - Ben Pareto

— demiş olmalıyım

Bütün bunlarda biraz rahatlık var: Eğer , , ama tam değil.

P (τ = \infty) > 0

$P(\tau=\infty)>0$

E [τ] = \infty

$E[\tau]=\infty$

— Alex R.30

Yanıtlar:

Bir etkinliği "sonunda olur" nasıl gösterirsiniz? Varsayımsal bir rakiple bir düşünce deneyi yapardınız. Rakibiniz herhangi bir pozitif sayı ile size meydan okuyabilir . Etkinliğin zamanla gerçekleşme şansının en az olduğu bir (büyük olasılıkla bağlı ) bulabilirseniz , kazanırsınız. $p$ $n$ $p$ $n$ $1-p$

Örnekte, " " yanıltıcı gösterimdir çünkü hem rastgele bir yürüyüşün tek bir durumuna hem de tüm rastgele yürüyüşün kendisine atıfta bulunur. Ayrımı tanımaya özen gösterelim. " Sonunda ulaşır ", tüm rastgele yürüyüşler kümesinin alt kümesini ifade eder . Her yürüyüş sonsuz sayıda adım vardır. Değeri süre içinde ise . " ulaşır zaman " bir alt grubunu ifade eder durumuna ulaştığı yürür saat ile $S_n$ $1$ $\mathcal{S}$ $\Omega$ $S\in\Omega$ $S$ $n$ $S_n$ $S$ $1$ $n$ $\Omega$ $1$ $n$ . Titizlikle, set

Ω_{1, n} = {S \in Ω ∣ S_{1} = 1 or S_{2} = 1 or \dots or S_{n} = 1} .

$\Omega_{1,n} = \{S\in\Omega \mid S_1=1\text{ or }S_2=1\text{ or }\cdots\text{ or }S_n=1\}.$

Hayali rakibe Yanıtınızda, bazı sergiliyor mülkiyet bununla $\Omega_{1,n}$

P_{ξ} (Ω_{1, n}) \geq 1 - p .

$\mathbb{P}_\xi(\Omega_{1,n}) \ge 1-p.$

keyfi olduğundan , setin tüm öğelerini kullanabilirsiniz $n$

Ω_{1, \infty} = ⋃_{n = 1}^{\infty} Ω_{1, n} .

$\Omega_{1,\infty} = \bigcup_{n=1}^\infty \Omega_{1,n}.$

( , ancak olan sınırlı bir varsa , bu nedenle bu birliğe dahil olan sonsuz sayıda sayı.) $S \in \bigcup_{n=1}^\infty \Omega_{1,n}$ $n$ $S \in \Omega_{1,n}$

Bu birliği oyun gösterileri kazanmak için yetenek formu tüm değerlerini aşan bir olasılığa sahiptir kadar küçük olursa olsun, olabilir. Sonuç olarak, bu olasılık, en azından, --ve bu nedenle eşit . O zaman bunu göstermiş olacaksınız. $1-p$ $p\gt 0$ $1$ $1$

P_{ξ} (Ω_{1, \infty}) = 1.

$\mathbb{P}_\xi(\Omega_{1,\infty}) = 1.$

"Sonunda olma" ile sonsuz bir ilk geçiş zamanına sahip olma arasındaki farkı anlamanın basit bir yolu daha basit bir durumu düşünmektir. İçin , herhangi bir doğal sayı, izin olmak sekansı $n$ $\omega^{(n)}$

ω^{(n)} = (\underset{n}{\underset{⏟}{0, 0, \dots, 0}}, 1, 1, \dots)

$\omega^{(n)} = (\underbrace{0, 0,\ldots,0}_{n},1,1,\ldots)$

burada sıfırları sonsuz bir dizi izler. Başka bir deyişle, bunlar başlangıç noktasında kalan ve (sonlu) zaman noktasında noktaya , sonra sonsuza dek orada kalan yürüyüşlerdir . $n$ $1$

Let tüm kümesi bu ayrık sigma cebri ile. Üzerinden bir olasılık ölçüsü atayın $\Omega$ $\omega^{(n)}, n=0, 1, 2, \ldots$

P (ω^{(n)}) = \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} = \frac{1}{(n + 1) (n + 2)} .

$\mathbb{P}(\omega^{(n)}) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}.$

Bu, eşit olduğu zaman atlama şansını sağlamak için tasarlanmıştır , ki bu açıkça keyfi olarak yaklaşır . Oyunu kazanacaksınız. Atlama sonunda gerçekleşir ve gerçekleştiğinde, sınırlı bir zamanda olacaktır. Ancak, beklenen bu olur süresi (şansını verir hayatta kalma fonksiyonunun toplamı değil zaman atladı ettikten ), $1$ $n$ $1-1/(n+1)$ $1$ $n$

E (τ) = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots,

$\mathbb{E}(\tau) = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots,$

hangi ayrılıyor. Çünkü atlamadan önce uzun süre beklemek için nispeten büyük bir olasılık verilmiştir.

— whuber
kaynak

İlk bölümünüzü bir epsilon / delta argümanına gibi okuduğumda yanlış anlıyor muyum ve bu yüzden temelde sadece (burada , adımdan sonra bir olayın olasılığıdır ) ?

lim_{n \to \infty} P_{n} = 1

$\lim_{ n \to \infty } P_n = 1$

P_{n}

$P_n$

n

$n$

— 30.06.2016

@jpm Sadece kendisine aşağı kaynatın vermez: o olduğunu bir epsilon-delta argümanı. Bu durumda "delta", " " dir ve "epsilon" , bir olasılık olduğunu hatırlatmak için " " olarak yazılır . Buradaki vurgu : limitlerinin sonluluğudur , sınırsız değerler değil sonlu değerler ve sonlu işlemler açısından tanımlanır.

n

$n$

p

$p$

n

$n$

— whuber

Anonim bir kullanıcıyaunderbrace tanımındaki kullanımını önerdiği için teşekkür ederim .

ω^{(n)}

$\omega^{(n)}$

— whuber

Sonunda bir şeyin olması, gerçekleştiği zamanın bir noktası olduğu anlamına gelir, ancak daha önce gerçekleşen belirli bir zamana atıfta bulunmadığı bir çağrışım vardır. Üç hafta içinde bir şey olacağını söylüyorsanız, bu sonunda gerçekleşeceğinden daha güçlü bir ifadedir. Eninde sonunda "üç hafta" veya "otuz milyar yıl" veya "bir dakika" gibi bir zaman belirtmez.

— Michael Hardy
kaynak