Beklentisi

10

Let $X_1$ , $X_2$ , $\cdots$ , $X_d \sim \mathcal{N}(0, 1)$ ve bağımsız. beklentisi nedir $\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}$ ?

bulmak kolaydır $\mathbb{E}\left(\frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2}\right) = \frac{1}{d}$ simetri ile. Ama beklentisini bulmak için nasıl bilmiyorum $\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}$ . Lütfen bazı ipuçları verebilir misiniz?

Şimdiye kadar elde ettiklerim

bulmak istedim $\mathbb{E}\left(\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ simetri ile. Ancak bu durumiçinfarklıdır $\mathbb{E}\left(\frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2}\right)$ çünkü $\mathbb{E}\left(\frac{X_i^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ eşit olmayabilir $\mathbb{E}\left(\frac{X_i^2X_j^2}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ . Beklentiyi bulmak için başka fikirlere ihtiyacım var.

Bu soru nereden geliyor?

$\|Ax\|_2^2$ $x$ $S^{d-1}$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i^2X_j^2}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ $i \neq j$

\underset{ben \neq j}{Σ} E (\frac{X_{ben}^{2} X_{j}^{2}}{(X_{1}^{2} + \dots + X_{d}^{2})^{2}}) + \underset{ben}{Σ} E (\frac{X_{ben}^{4}}{(X_{1}^{2} + \dots + X_{d}^{2})^{2}}) = 1

$\sum_{i \neq j}\mathbb{E} \left( \frac{X_i^2X_j^2}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right) + \sum_i \mathbb{E}\left(\frac{X_i^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right) = 1$

E (\frac{X_{1}^{4}}{(X_{1}^{2} + \dots + X_{d}^{2})^{2}})

$\mathbb{E}\left(\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ başka beklentiler elde etmek.

— Michael Hardy
kaynak

7

dağılımı ki-karedir (ve ayrıca özel bir gama ). $X_i^2$

Dağılımı ve böylece bir beta. $\frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2}$

Beta karesinin beklentisi zor değil.

— Glen_b-Monica'yı eski durumuna döndür
kaynak

5

Bu cevap @ Glen_b'nin cevabını genişletiyor.

Aslında 1: Eğer $X_1$ , $X_2$ , $\cdots$ , $X_n$ , bağımsız bir standart normal dağılım rasgele değişkenlerdir daha sonra karelerinin toplamı ile ki-kare dağılımına sahip $n$ serbestlik derecesi. Başka bir deyişle,
$X_{1}^{2} + \dots + X_{n}^{2} ~ χ^{2} (n)$ $X_1^2 + \cdots + X_n^2 \sim \chi^2(n)$

Bu nedenle, ve . $X_1^2 \sim \chi^2(1)$ $X_2^2 + \cdots + X_d^2 \sim \chi^2(d-1)$

Aslında 2: Eğer ve , o $X \sim \chi^2(\lambda_1)$ $Y \sim \chi^2(\lambda_2)$
$\frac{X}{X + Y} ~ beta (\frac{λ_{1}}{2}, \frac{λ_{2}}{2})$ $\frac{X}{X + Y} \sim \texttt{beta}(\frac{\lambda_1}{2}, \frac{\lambda_2}{2})$

Bu nedenle, . $Y = \frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2} \sim \texttt{beta}(\frac{1}{2}, \frac{d-1}{2})$

Gerçek 3: Eğer , daha sonra ve $X \sim \texttt{beta}(\alpha, \beta)$
$E (X) = \frac{α}{α + β}$ $\mathbb{E}(X) = \frac{\alpha}{\alpha + \beta}$ $V a r (X) = \frac{α β}{(α + β)^{2} (α + β + 1)}$ $\mathbb{Var}(X) = \frac{\alpha\beta}{(\alpha + \beta)^2(\alpha + \beta + 1)}$

Bu nedenle, ve

E (Y) = \frac{1}{d}

$\mathbb{E}(Y) = \frac{1}{d}$

V a r (Y) = \frac{2 (d - 1)}{d^{2} (d + 2)}

$\mathbb{Var}(Y) = \frac{2(d-1)}{d^2(d+2)}$

Son olarak,

E (Y^{2}) = V a r (Y) + E (Y)^{2} = \frac{3 d}{d^{2} (d + 2)} .

$\mathbb{E}(Y^2) = \mathbb{Var}(Y) + \mathbb{E}(Y)^2 = \frac{3d}{d^2(d+2)}.$

— user603
kaynak

1

@ NP-hard: Görünüşe göre bu soruyu cevaplayabilmek için bu soruyu sordunuz mu? Neden sadece bundan bahsetmiyoruz?

— joriki

@joriki Teşekkürler. Sorunun bağlantısını ekleyeceğim.