UMP olmadığında Reddetme Bölgesi nasıl tanımlanır?

Doğrusal regresyon modelini düşünün

$\mathbf{y}=\mathbf{X\beta}+\mathbf{u}$ ,

$\mathbf{u}\sim N(\mathbf{0},\sigma^2\mathbf{I})$ ,

$E(\mathbf{u}\mid\mathbf{X})=\mathbf{0}$ .

Let vs .H 1 : σ 2 0 ≠ σ $H_0: \sigma_0^2=\sigma^2$$H_1: \sigma_0^2\neq\sigma^2$

Biz anlamak ki , burada dim (\ mathbf {X}) = n \ kez k . Ve \ mathbf {M_X} Yokedici matrisi için tipik gösterim, bir \ mathbf {M_X} \ mathbf {y} = \ hat {\ mathbf {y}} , \ şapka {\ mathbf {y}} bağımlı değişken olarak \ mathbf {y} üzerinde \ mathbf {X} geriledi .dım(x)=nxkEX-Mxy= y y y$\frac{\mathbf{y}^T\mathbf{M_X}\mathbf{y}}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-k)$$dim(\mathbf{X})=n\times k$$\mathbf{M_X}$$\mathbf{M_X}\mathbf{y}=\hat{\mathbf{y}}$$\hat{\mathbf{y}}$$\mathbf{y}$$\mathbf{X}$

Okuduğum kitapta şunlar belirtiliyor:

Daha önce bir Reddetme Bölgesi'ni (RR) tanımlamak için hangi kriterlerin kullanılması gerektiğini sordum, bu sorunun cevaplarına bakın ve asıl olan, testi mümkün olduğunca güçlü hale getiren RR'yi seçmekti.

Bu durumda, alternatif bilateral kompozit hipotez olmakla birlikte genellikle UMP testi yoktur. Ayrıca, kitapta verilen cevapla, yazarlar RR'lerinin gücü üzerinde bir çalışma yapıp yapmadığını göstermezler. Bununla birlikte, iki kuyruklu bir RR seçtiler. Hipotez RR'yi 'tek taraflı' belirlemediğinden neden bu?

Düzenleme: Bu resim 4.14 egzersiz için çözüm olarak bu kitabın çözüm kılavuzunda bulunmaktadır .

Regresyon katsayılarının bilindiği ve sıfır hipotezinin basit olduğu durumda ilk çalışmanın daha kolay olması. O zaman yeterli istatistik , burada artıktır; null altındaki dağılımı aynı zamanda ile ölçeklendirilmiş bir -kare şeklindedir ve serbestlik derecesi örnek boyutuna eşittir . z σ 2 0$T=\sum z^2$$z$$\sigma^2_0$$n$

Olasılıkların oranını & ve bunun herhangi bir için artan bir işlevi olduğunu onaylayın : σ = σ 2 T σ 2 > σ $\sigma=\sigma_1$$\sigma=\sigma_2$$T$$\sigma_2 > \sigma_1$

Günlük olabilirlik oranı işlevi ve olduğunda pozitif gradyanlı ile doğrudan orantılıdır .Tσ2>σ

$$\ell(\sigma_2;T,n)-\ell(\sigma_1;T,n)=\frac{n}{2} \cdot \left[\log \left(\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\right) + \frac{T}{n} \cdot \left(\frac{1}{\sigma_1^2} - \frac{1}{\sigma_2^2}\right) \right]$$ $T$$\sigma_2>\sigma_1$

Karlin-Rubin teoremi ile tek kuyruklu testlerin her biri vs & vs eşit olarak en güçlü olanıdır. Açıkçası ve UMP testi yoktur . Bahsedildiği gibi burada hem tek kuyruklu testler yürüten ve her iki kuyrukları eşit büyüklükte ret bölgelerle yaygın kullanılan teste çoklu karşılaştırmalar düzeltme potansiyel uygulanarak, & onunla bu ya iddia ne zaman kesileceği oldukça makul null reddettiğinizde veya bu .H A : σ < σ 0 H 0 : σ = σ 0 H A : σ < σ 0 H 0 : σ = σ 0 H A : σ ≠ σ 0 σ > σ 0 σ < σ $H_0:\sigma=\sigma_0$$H_\mathrm{A}:\sigma < \sigma_0$$H_0:\sigma = \sigma_0$$H_\mathrm{A}:\sigma < \sigma_0$$H_0:\sigma = \sigma_0$$H_\mathrm{A}:\sigma \neq \sigma_0$$\sigma>\sigma_0$$\sigma<\sigma_0$

Sonra altındaki olasılıkların oranını, ve için maksimum olabilirlik tahminini : σ σ = σ $\sigma=\hat\sigma$$\sigma$$\sigma=\sigma_0$

Şöyle , logaritmik değeri oranı Test istatistiği ℓ( σ ;T,n)-ℓ(σ0;T,n)=$\hat\sigma^2=\frac{T}{n}$

$$\ell(\hat\sigma;T,n)-\ell(\sigma_0;T,n)=\frac{n}{2} \cdot \left[\log \left(\frac{n\sigma_0^2}{T}\right) + \frac{T}{n\sigma_0^2} - 1 \right]$$

Bu, verilerin üzerinden ne kadar desteklediğini ölçmek için iyi bir istatistiktir . Olabilirlik-oran testinin tersine çevrilmesinden oluşan güven aralıkları, aralık içindeki tüm parametre değerlerinin dışarıdakilerden daha yüksek olma ihtimaline sahip olduğu çekici özelliğe sahiptir. Log-olabilirlik oranının iki katının asimptotik dağılımı iyi bilinmektedir, ancak kesin bir test için, dağılımını çözmeye çalışmanıza gerek yoktur - sadece her kuyrukta karşılık gelen değerlerinin kuyruk olasılıklarını kullanın .H 0 : σ = σ 0$H_\mathrm{A}:\sigma \neq \sigma_0$$H_0:\sigma = \sigma_0$$T$

Tekdüze en güçlü sınamaya sahip olamıyorsanız, null değerine en yakın alternatiflere karşı en güçlü sınamayı isteyebilirsiniz. - skor işlevi ile ilgili log-olasılık fonksiyonunun türevini bulun :$\sigma$

$$\frac{\mathrm{d}\,\ell(\sigma;T,n)}{\mathrm{d}\,\sigma}=\frac{T}{\sigma^3} - \frac{n}{\sigma}$$

Büyüklüğünü değerlendirmek, yerel olarak en güçlü ve . Test istatistiği aşağıda sınırlandırıldığı için, küçük örneklerle ret bölgesi üst kuyruğa sınırlandırılabilir. Yine, kare skorunun asimptotik dağılımı iyi bilinmektedir, ancak LRT ile aynı şekilde kesin bir test alabilirsiniz.H 0 : σ = σ 0 H A : σ ≠ σ $\sigma_0$$H_0:\sigma=\sigma_0$$H_\mathrm{A}:\sigma \neq \sigma_0$

Başka bir yaklaşım, dikkatinizi tarafsız testlerle sınırlamaktır, yani herhangi bir alternatif altındaki gücün boyutu aştığı testler. Yeterli istatistiğin üstel ailede bir dağılımı olduğunu kontrol edin; eğer bir testi, eğer veya , başka , ϕ ( T ) = 1 T < c 1 T > c 2 ϕ ( T ) = 0 E ( ϕ ( T ) $\alpha$$\phi(T)= 1$$T<c_1$$T>c_2$$\phi(T)= 0$

Bir çizim, eşit kuyruk alanları testindeki ve nasıl ortaya çıktığı sapmalarını göstermeye yardımcı olur:

Değerleri de biraz fazla üst kuyruk reddi reddinde düşen Test istatistikleri artan olasılığı onun alt-kuyruk reddetme bölgesi ve gücüne düşme düşük olasılık telafi etmez Test boyutunun altına düşer.σ $\sigma$$\sigma_0$

Tarafsız olmak iyidir; ancak alternatifin içindeki parametre boşluğunun küçük bir bölgesi üzerindeki büyüklükten biraz daha düşük bir güce sahip olmanın, bir testi tamamen ekarte etmek kadar kötü olduğu açık değildir.

Yukarıdaki iki kuyruklu testlerden ikisi çakışır (bu durumda, genel olarak değil):

LRT, nötr testler arasında UMP'dir. Bunun doğru olmadığı durumlarda LRT hala asemptolojik olarak tarafsız olabilir.

Bence, tek kuyruklu testler bile kabul edilebilir, yani tüm alternatifler altında daha güçlü veya daha güçlü bir test yoktur - testi bir yöne göre alternatiflere karşı daha güçlü hale getirebilirsiniz, ancak diğerine alternatiflere karşı daha az güçlü hale getirebilirsiniz. yön. Örnek boyutu arttıkça, ki kare dağılımı daha fazla simetrik hale gelir ve tüm iki kuyruklu testler aynı olur (kolay eşit kuyruklu testi kullanmanın bir başka nedeni).

Bileşik sıfır hipotezi ile argümanlar biraz daha karmaşık hale gelir, ancak bence hemen hemen aynı sonuçları alabilirsiniz, mutatis mutandis. Tek kuyruklu testlerden birinin değil diğerinin UMP olduğunu unutmayın!

Bu durumda, alternatif bilateral kompozit hipotez olmakla birlikte genellikle UMP testi yoktur.

Bunun genel olarak doğru olup olmadığından emin değilim. Elbette, klasik sonuçların birçoğu (Neymon-Pearson, Karlin-Rubin) ya basit ya da tek taraflı hipoteze dayanır, ancak iki taraflı kompozit hipoteze genellemeler vardır. Bununla ilgili bazı notlar ve burada daha fazla tartışma bulabilirsiniz .

Sorununuz için özel olarak, bir UMP testinin olup olmadığını bilmiyorum. Ancak sezgisel olarak, 0-1 kaybı altında, tek taraflı bir testin muhtemelen kabul edilemeyeceği ve bu nedenle kabul edilebilir test sınıfının tüm iki taraflı testler olacağı anlaşılmaktadır. İki taraflı testlerin sınıfını verin, amaç bir modu etrafında miktarları seçerek otomatik olarak gerçekleşmesi gereken en büyük güce sahip olanı bulmaktır . (Bunların hepsi sezgiye dayanır).$\chi^2$