Sinüs ve kosinüs arasındaki ilişki

üzerine eşit olarak dağıtıldığını varsayın . Let ve . ve arasındaki korelasyonun sıfır olduğunu gösterin . $X$ $[0, 2\pi]$ $Y = \sin X$ $Z = \cos X$ $Y$ $Z$

Sinüs ve kosinüsün standart sapmasını ve bunların kovaryansını bilmem gerekecek gibi görünüyor. Bunları nasıl hesaplayabilirim?

tekdüze bir dağılımı olduğunu ve dönüştürülen değişkenlere ve baktığımı varsaymam gerektiğini düşünüyorum . O zaman bilinçdışı istatistikçi yasası beklenen değeri verecekti $X$ $Y=\sin(X)$ $Z=\cos(X)$

E [Y] = \frac{1}{b - a} \int_{- \infty}^{\infty} \sin (x) d x

$E[Y] = \frac{1}{b-a}\int_{-\infty}^{\infty} \sin(x)dx$ ve

E [Z] = \frac{1}{b - a} \int_{- \infty}^{\infty} \cos (x) d x

$E[Z] = \frac{1}{b-a}\int_{-\infty}^{\infty} \cos(x)dx$

(üniform bir dağılım olduğu için yoğunluk sabittir ve dolayısıyla integralden dışarı çıkarılabilir).

Ancak, bu integraller tanımlanmamıştır (ancak bence sıfır Cauchy temel değerlerine sahiptir).

Bu sorunu nasıl çözebilirim? Sanırım çözümü biliyorum (korelasyon sıfırdır çünkü sinüs ve kosinüs zıt fazlara sahiptir) ama nasıl türetileceğini bulamıyorum.

— uklady
kaynak

Belirtildiği gibi, sorununuz yetersiz tanımlanmış. Korelasyon, fonksiyonlar için değil rastgele değişkenler için geçerli bir kavramdır. (Resmi olarak, rastgele bir değişken bir tür fonksiyon, yani bir olasılık alanından Borel ölçüsü ile donatılmış gerçek sayılara kadar ölçülebilir bir fonksiyondur. Ama sadece “sinüs fonksiyonu” demek size ortak dağılımlar da dahil olmak üzere olasılık bilgisini sağlayan alan

— adıdır

Zamanın tekdüze rastgele bir değişken ( ) olduğunu varsayarsam , bunu yapmak mümkün değil mi? Demek istediğim, iki dönüştürülmüş rastgele değişkenin korelasyonuna bakacağım.

X

$X$

— uklady

Yani eşit olarak dağıtılmasını istiyorsunuz ve sonra ve ? yoğunluğunun desteğini de belirtmeniz gerekmesi dışında bu iyidir , çünkü tamamı veya sonsuz uzun bir aralık boyunca tekdüze bir dağılım yoktur .

X

$X$

Y = \sin X

$Y = \sin X$

Z = \cos X

$Z = \cos X$

X

$X$

ℝ

$ℝ$

— Kodiologist

Belki destek olarak ( olduğunu varsayarım , bu yüzden aralık bir tam döngü içerir). Sanırım entegrasyon sorunları da yok olacak

[0, 2 * p i]

$[0, 2*pi]$

f = 1

$f=1$

— uklady

Bunu yaparsanız, sadece bir dağılım grafiği çizmeniz gerekir - entegrasyon gerekmez. Bu dağılım grafiği birim çember üzerinde homojen bir dağılımdır (belli ki). Daire orijinden geçen bir yansıma altında simetrik olduğu için sıfır olmalıdır nereden, korelasyon, kendi negatif eşittir QED .

— whuber

Dan beri

\begin{aligned} Cov (Y, Z) & = E [(Y - E [Y]) (Z - E [Z])] \\ = E [(Y - \int_{0}^{2 π} \sin x d x) (Z - \int_{0}^{2 π} \cos x d x)] \\ = E [(Y - 0) (Z - 0)] \\ = E [Y Z] \\ = \int_{0}^{2 π} \sin x \cos x d x \\ = 0, \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{Cov}(Y, Z) &= E[(Y - E[Y])(Z - E[Z])] \\ &= E[(Y - {\textstyle \int}_0^{2\pi} \sin x \;dx)(Z - {\textstyle \int}_0^{2\pi} \cos x \;dx)] \\ &= E[(Y - 0)(Z - 0)] \\ &= E[YZ] \\ &= \int_0^{2\pi} \sin x \cos x \;dx \\ &= 0 , \end{align}$

korelasyon da 0 olmalıdır.

— Kodiologist
kaynak

Ben gerçekten @ whuber en simetri gelen argüman ve yorum olarak kaybolabilir istemiyoruz gibi, işte detaylandırma biraz.

Rasgele vektör düşünün , burada ve için, . Sonra birim çemberini yay uzunluğuna göre parametrelendirdiğinden, birim çemberinde eşit olarak dağıtılır. Özellikle, nin dağılımı nin dağılımı ile aynıdır . Ama sonra $(X, Y)$ $X = \cos(U)$ $Y = \sin(U)$ $U \sim U(0, 2 \pi)$ $\theta \mapsto (\cos(\theta), \sin(\theta))$ $(X, Y)$ $(-X, Y)$ $(X, Y)$

- Cov (X, Y) = Cov (- X, Y) = Cov (X, Y)

$- \text{Cov} (X, Y) = \text{Cov} (-X, Y) = \text{Cov} (X, Y)$

bu yüzden . $\text{Cov} (X, Y) = 0$

Sadece güzel bir geometrik argüman.

— Matthew Drury
kaynak