Rastgele değişkenimizin değer aralığı sınırlandırılmışsa olarak nasıl normal bir dağılım elde edebiliriz ?

Diyelim ki ve sınırlanmış bir dizi değer içeren rastgele bir değişkenimiz var , burada minimum değer ve maksimum değerdir. $a$ $b$ $a$ $b$

Ben söylendi , nerede örneklem büyüklüğü, bizim örnek araçlarının örnekleme dağılımı olan bir normal dağılım. Biz arttıkça Yani, daha yakın ve daha yakın bir normal dağılım almak, ancak gerçek sınır olan eşit bir normal dağılım. $n \to \infty$ $n$ $n$ $n \to \infty$

Ancak, uzanacak zorunda olduğu normal dağılımın tanımının bir parçası değildir hiç ? $- \infty$ $\infty$

Bizim aralığının maksimum ise , (örnek boyutundan bağımsız olarak) daha sonra maksimum örnekleme ortalama eşit olacak , ve ortalama asgari numune eşit . $b$ $b$ $a$

Bana öyle geliyor Yani biz limitini almak bile o sonsuza yaklaşan, bizim dağıtım değil o ile bağlı olması nedeniyle, gerçek bir normal dağılım ve . $n$ $a$ $b$

Neyi kaçırıyorum ?

— jeremy radcliff
kaynak

Yanıtlar:

İşte eksik olan şey. Asimptotik dağılım (örnek ortalaması) değil, dır , burada ortalamasıdır . $\bar{X}_n$ $\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta)$ $\theta$ $X$

Let öyle ki rastgele değişkenler istatistiksel bağımsız olmak ve ortalama sahiptir ve varyansı . Böylece desteği sınırladı. CLT, $X_1, X_2, \dots$ $a < X_i <b$ $X_i$ $\theta$ $\sigma^2$ $X_i$

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ) \overset{d}{\to} N (0, σ^{2}),

$\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta) \overset{d}{\to} N(0, \sigma^2),$

burada örnek ortalamasıdır. şimdi $\bar{X}_n$

\begin{aligned} a < & X_{i} < b \\ a < & {\bar{X}}_{n} < b \\ a - θ < & {\bar{X}}_{n} - θ < b - θ \\ \sqrt{n} (a - θ) < & \sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ) < \sqrt{n} (b - θ) . \end{aligned}

$\begin{align*} a < &X_i <b\\ a < & \bar{X}_n <b\\ a-\theta < &\bar{X}_n - \theta < b - \theta\\ \sqrt{n}(a - \theta) < & \sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta) < \sqrt{n}(b - \theta).\\ \end{align*}$

Şöyle , düşük bağlanmış ve üst sınırı eğilimi ve sırasıyla eklenir ve bu şekilde destek tam olarak gerçek çizgidir. $n \to \infty$ $-\infty$ $\infty$ $n \to \infty$ $\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta)$

CLT'yi pratikte her kullandığımızda, diyoruz ve bu her zaman bir tahmin olacaktır. $\bar{X}_n \approx N(\theta, \sigma^2/n)$

EDIT: Ben karışıklığın bir kısmı Merkezi Limit Teoreminin yanlış yorumlanması olduğunu düşünüyorum. Örnek ortalamanın örnekleme dağılımının olduğu doğrudur

{\bar{X}}_{n} \approx N (θ, σ^{2} / n) .

$\bar{X}_n \approx N(\theta, \sigma^2/n).$

Bununla birlikte, örnekleme dağılımı sonlu bir numune özelliğidir. Dediğin gibi, ; Bunu yaptığımızda işareti kesin bir sonuç olacaktır. Ancak, izin verirsek, artık sağ tarafta sahip olamayız ( şimdi ). Dolayısıyla aşağıdaki ifade yanlış $n \to \infty$ $\approx$ $n \to \infty$ $n$ $n$ $\infty$

{\bar{X}}_{n} \overset{d}{\to} N (θ, σ^{2} / n) as n \to \infty .

$\bar{X}_n \overset{d}{\to} N(\theta, \sigma^2/n) \text{ as } n \to \infty.$

[Burada dağıtım açısından yakınsama anlamına gelmektedir]. Sonucu doğru bir şekilde yazmak istiyoruz, bu yüzden sağ tarafta değil. Burada şimdi almak için rastgele değişkenlerin özelliklerini kullanıyoruz $\overset{d}{\to}$ $n$

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ) \overset{d}{\to} N (0, σ^{2})

$\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta) \overset{d}{\to} N(0, \sigma^2)$

Cebir dışarı nasıl çalıştığını görmek için, cevap bakmak burada .

— Greenparker
kaynak

Teşekkür ederim. Eşitsizlik cebirinizi anlıyorum ama ilk paragrafınız hakkında hala bazı karışıklıklar var: "Asimptotik dağılım

{\bar{X}}_{n}

$\bar{X}_n$ (örnek ortalaması) değil, ... ". CLT'nin, örnekleme araçlarının örnekleme dağılımının olarak normal bir dağılıma yaklaştığını söylediğini düşündüm ve , boyutundaki örneklerin tüm olası değerlerini alan RV olduğunu düşündüm . Nerede gelmez geliyor? dağılımı ile neden bu dağıtımla ilgileniyoruz ?

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ)

$\sqrt{n} (\bar{X}_n - \theta)$

n \to \infty

$n \to \infty$

{\bar{X}}_{n}

$\bar{X}_n$

n

$n$

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ)

$\sqrt{n} (\bar{X}_n - \theta)$

{\bar{X}}_{n}

$\bar{X}_n$

— jeremy radcliff

(devam) Bu örnek araçların dağılımını normalleştirmekle mi ilgili? Karekök nereden geliyor? skorları ile ilgisi var mı ?

Z

$Z$

— jeremy radcliff

@jeremyradcliff Cevabımı düzenledim ve bazı detayları açıklayan bir bağlantı ekledim. Umarım şimdi daha mantıklı.

— Greenparker

Düzenlemeye zaman ayırdığınız için çok teşekkür ederim, sağladığınız bağlantı tam olarak aradığım şeydi. Ve haklısın, sorun ben örnekleme dağılımının sonlu doğası ve biz alıyor olması sorun barþtýrma vardı

için

n

$n$

\infty

$\infty$

— jeremy radcliff

Merkezi bir limit teoreminden bahsediyorsanız, bunu yazmanın uygun bir yolunun

$\left( \frac{\bar x - \mu} {\sigma} \right) \sqrt n \rightarrow_d N(0,1)$

normal koşullar altında ( ortalama ve standart sapmasıdır ). $\mu, \sigma$ $x_i$

Bu biçimsel tanımı ile, sol tarafta olduğunu hemen görebilirsiniz olabilir yeterince büyük bir verilen herhangi sonlu aralığı için değerler alabilir . $n$

$n$ $n$ $n$

$X_i \sim \text{Bern}(p = 0.5)$

$\bar X \dot \sim N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right)$

$n$

$P\left(N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right) < 0\right) >0$

$n \rightarrow \infty$

$P\left(N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right) < 0\right) \rightarrow 0$

Gerçek dağıtım ve yaklaşık dağılımı arasındaki tutarsızlık Yani edilir kaybolan olarak yaklaşımlar ile gerçekleşmesi gerekiyordu.

— Cliff AB
kaynak