Varyans neden birbirini izleyen her değer arasındaki fark olarak tanımlanmamış?

Bu birçok kişi için basit bir soru olabilir, ama işte burada:

Varyans neden değerlerin ortalamasıyla fark yerine birbirini izleyen her değer arasındaki fark olarak tanımlanmamıştır?

Bu benim için daha mantıklı bir seçim olurdu, sanırım bazı dezavantajları gözetiyorum. Teşekkürler

DÜZENLE:

Mümkün olduğunca net bir şekilde yeniden ifade edeyim. Demek istediğim bu:

1. Sıralı bir sayı aralığınız olduğunu varsayın: 1,2,3,4,5
2. (Ortalama kullanmadan) değerler arasındaki (mutlak) farkları (sürekli, aşağıdaki her değer arasında, çift değil) hesaplayın ve toplayın.
3. Farklılık sayısına bölün
4. (Takip: numaralar sipariş edilmemişse cevap farklı olur)

-> Bu yaklaşımın standart varyans formülüne kıyasla dezavantajları nelerdir?

En belirgin neden, değerlerde genellikle zaman dizisi olmamasıdır. Bu nedenle, verileri karıştırırsanız, verilerin aktardığı bilgilerde bir fark yaratmaz. Yönteminizi takip edersek, verileri her karıştırdığınızda farklı bir örnek sapması elde edersiniz.

Daha teorik cevap, örnek varyansının rastgele bir değişkenin gerçek varyansını tahmin etmesidir. Rastgele değişken doğru varyans olan E [ ( X - E X ) 2 ]$X$

$$E\left[ (X - EX)^2 \right].$$

İşte $E$ , beklentiyi veya "ortalama değeri" temsil eder. Dolayısıyla varyansın tanımı, değişkenin ortalama değerinden ortalama kare uzaklığıdır. Bu tanıma baktığınızda, veri olmadığı için burada "zaman sırası" yoktur. Bu sadece rastgele değişkenin bir özelliğidir.

Bu dağıtımdan iid verileri topladığınızda gerçekleşmelerine sahipsiniz . Beklentiyi tahmin etmenin en iyi yolu örnek ortalamaları almaktır. Buradaki anahtar, iid verisi elde etmemiz ve bu nedenle verilere herhangi bir sipariş verilmemesidir. Örnek X 1 , x 2 , ... , x , n örnek ile aynıdır x 2 , x 5 , x 1 , x , n . $x_1, x_2, \dots, x_n$$x_1, x_2, \dots, x_n$$x_2, x_5, x_1, x_n..$

DÜZENLE

Numune varyansı, numune için ortalamadan ortalama mesafeyi ölçen spesifik bir dispersiyon türünü ölçer. Veri aralığı ve İnter-Quantile aralığı gibi başka dağılım türleri de vardır.

Değerlerinizi artan düzende sıralasanız bile, bu, örneğin özelliklerini değiştirmez. Aldığınız örnek (veriler), bir değişkenin gerçekleştirmeleridir. Örnek varyansının hesaplanması, değişkente ne kadar dispersiyon olduğunu anlamaya benzer. Örneğin, 20 kişiyi örnekleyip boylarını hesaplarsanız, bunlar rastgele değişken insanların yüksekliğinden 20 "gerçekleşme" olur . Şimdi örnek varyansının, genel olarak bireylerin yüksekliğindeki değişkenliği ölçmesi beklenmektedir. Verileri 100 , 110 , 123 , 124 , … sipariş ederseniz $X =$

$$100, 110, 123, 124, \dots,$$

örnekteki bilgileri değiştirmez.

Bir örnek daha inceleyelim. Bu şekilde düzenlenmiş bir rastgele değişkenin 100 gözlemler sahip sağlar ki Ardından ortalama sonraki mesafe 1 birimdir, bu nedenle yönteminize göre varyans 1 olacaktır.

$$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ... 100.$$

"Varyans" veya "dağılım" ı yorumlamanın yolu, veriler için hangi değer aralığının muhtemel olduğunu anlamaktır. Bu durumda, elbette varyasyonu iyi temsil etmeyen bir .99 birim aralığı alacaksınız.

Ortalama almak yerine sadece sonraki farkları toplarsanız, varyansınız 99 olacaktır. Tabii ki bu örneklemdeki değişkenliği temsil etmez, çünkü 99 size bir değişkenlik hissi değil, veri aralığını verir.

Bu şekilde tanımlanır!

İşte cebir. Değerler . Tarafından Göstermek F (her biri anlamına gelir, bu değerlerin deneysel dağılım fonksiyonu x i arasında katkıda bulunur bir olasılık yoğunluk 1 / n değeri en x i ) ve izin X ve Y, dağıtım bağımsız rastgele değişkenler F . Varyansın temel özellikleri (yani kuadratik bir formdur) yanı sıra F'nin tanımı ve gerçek$\mathbf{x}=(x_1, x_2, \ldots, x_n)$$F$$x_i$$1/n$$x_i$$X$$Y$$F$$F$ ve Y aynı ortalamaya sahiptir,$X$$Y$

$$\eqalign{ \operatorname{Var}(\mathbf{x})&=\operatorname{Var}(X) = \frac{1}{2}\left(\operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y)\right)=\frac{1}{2}\left(\operatorname{Var}(X-Y)\right)\\ &=\frac{1}{2}\left(\mathbb{E}((X-Y)^2) - \mathbb{E}(X-Y)^2\right)\\ &=\mathbb{E}\left(\frac{1}{2}(X-Y)^2\right) - 0\\ &=\frac{1}{n^2}\sum_{i,j}\frac{1}{2}(x_i - x_j)^2. }$$

Bu formül sırasına bağlı değildir : olası tüm bileşen çiftlerini kullanır ve bunları kare farklılıklarının yarısını kullanarak karşılaştırır. Bununla birlikte, tüm olası sıralamaların ( 1 , 2 , … , n indekslerinin tüm n ! Permütasyonlarının S ( n ) grubu ) bir ortalaması ile ilişkili olabilir . Yani,$\mathbf{x}$$\mathfrak{S}(n)$$n!$$1,2,\ldots, n$

$$\operatorname{Var}(\mathbf{x})=\frac{1}{n^2}\sum_{i,j}\frac{1}{2}(x_i - x_j)^2 = \frac{1}{n!}\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}(n)} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{2}(x_{\sigma(i)} - x_{\sigma(i+1)})^2.$$

Bu iç toplam, yeniden sıralanan değerleri alır ve ardışık tüm n - 1 çiftleri arasındaki (yarım) kare farkları toplar. Tarafından bölünme n tane ortalamalar, esasta bu ardışık kare farklılıkları . Gecikme-1 semivaryence olarak bilinen şeyi hesaplar . Dış toplam, bunu tüm olası siparişler için yapar .$x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, \ldots, x_{\sigma(n)}$$n-1$$n$

---

Standart varyans formülünün bu iki eşdeğer cebirsel görünümü, varyansın ne anlama geldiğine dair yeni bir fikir verir. Yarı değişkenlik, bir dizinin seri kovaryansının ters bir ölçüsüdür: yarı değişkenlik düşük ve tersine olduğunda, kovaryans yüksektir (ve sayılar pozitif olarak ilişkilidir). Sıralanmamış bir veri kümesinin varyansı , o zaman, rasgele yeniden sıralama altında elde edilebilen tüm olası yarılanmaların bir tür ortalamasıdır.

Just a complement to the other answers, variance can be computed as the squared difference between terms:

$$\begin{align} &\text{Var}(X) = \\ &\frac{1}{2\cdot n^2}\sum_i^n\sum_j^n \left(x_i-x_j\right)^2 = \\ &\frac{1}{2\cdot n^2}\sum_i^n\sum_j^n \left(x_i - \overline x -x_j + \overline x\right)^2 = \\ &\frac{1}{2\cdot n^2}\sum_i^n\sum_j^n \left((x_i - \overline x) -(x_j - \overline x\right))^2 = \\ &\frac{1}{n}\sum_i^n \left(x_i - \overline x \right)^2 \end{align}$$

I think this is the closest to the OP proposition. Remember the variance is a measure of dispersion of every observation at once, not only between "neighboring" numbers in the set.

---

UPDATE

Using your example: $X = {1, 2, 3, 4, 5}$. We know the variance is $Var(X) = 2$.

With your proposed method $Var(X) = 1$, so we know beforehand taking the differences between neighbors as variance doesn't add up. What I meant was taking every possible difference squared then summed:

$$Var(X) = \\ = \frac{(5-1)^2+(5-2)^2+(5-3)^2+(5-4)^2+(5-5)^2+(4-1)^2+(4-2)^2+(4-3)^2+(4-4)^2+(4-5)^2+(3-1)^2+(3-2)^2+(3-3)^2+(3-4)^2+(3-5)^2+(2-1)^2+(2-2)^2+(2-3)^2+(2-4)^2+(2-5)^2+(1-1)^2+(1-2)^2+(1-3)^2+(1-4)^2+(1-5)^2}{2 \cdot 5^2} = \\ =\frac{16+9+4+1+9+4+1+1+4+1+1+4+1+1+4+9+1+4+9+16}{50} = \\ =2$$

Others have answered about the usefulness of variance defined as usual. Anyway, we just have two legitimate definitions of different things: the usual definition of variance, and your definition.

Then, the main question is why the first one is called variance and not yours. That is just a matter of convention. Until 1918 you could have invented anything you want and called it "variance", but in 1918 Fisher used that name to what is still called variance, and if you want to define anything else you will need to find another name to name it.

The other question is if the thing you defined might be useful for anything. Others have pointed its problems to be used as a measure of dispersion, but it's up to you to find applications for it. Maybe you find so useful applications that in a century your thing is more famous than variance.

@GreenParker answer is more complete, but an intuitive example might be useful to illustrate the drawback to your approach.

In your question, you seem to assume that the order in which realisations of a random variable appear matters. However, it is easy to think of examples in which it doesn't.

Consider the example of the height of individuals in a population. The order in which individuals are measured is irrelevant to both the mean height in the population and the variance (how spread out those values are around the mean).

Your method would seem odd applied to such a case.

Although there are many good answers to this question I believe some important points where left behind and since this question came up with a really interesting point I would like to provide yet another point of view.

Why isn't variance defined as the difference between every value following    
each other instead of the difference to the average of the values?

The first thing to have in mind is that the variance is a particular kind of parameter, and not a certain type of calculation. There is a rigorous mathematical definition of what a parameter is but for the time been we can think of then as mathematical operations on the distribution of a random variable. For example if $X$ is a random variable with distribution function $F_X$ then its mean $\mu_x$, which is also a parameter, is:

$$\mu_X = \int_{-\infty}^{+\infty}xdF_{X}(x)$$

and the variance of $X$, $\sigma^2_X$, is:

$$\sigma^2_X = \int_{-\infty}^{+\infty}(x - \mu_X)^2dF_{X}(x)$$

The role of estimation in statistics is to provide, from a set of realizations of a r.v., a good approximation for the parameters of interest.

What I wanted to show is that there is a big difference in the concepts of a parameters (the variance for this particular question) and the statistic we use to estimate it.

Why isn't the variance calculated this way?

So we want to estimate the variance of a random variable $X$ from a set of independent realizations of it, lets say $x = \{x_1,\ldots,x_n\}$. The way you propose doing it is by computing the absolute value of successive differences, summing and taking the mean:

$$\psi(x) = \frac{1}{n}\sum_{i = 2}^{n}|x_i - x_{i-1}|$$

and the usual statistic is:

$$S^2(x) = \frac{1}{n-1}\sum_{i = i}^{n}(x_i - \bar{x})^2,$$

where $\bar{x}$ is the sample mean.

When comparing two estimator of a parameter the usual criterion for the best one is that which has minimal mean square error (MSE), and a important property of MSE is that it can be decomposed in two components:

MSE = estimator bias + estimator variance.

Using this criterion the usual statistic, $S^2$, has some advantages over the one you suggests.

• First it is a unbiased estimator of the variance but your statistic is not unbiased.

• One other important thing is that if we are working with the normal distribution then $S^2$ is the best unbiased estimator of $\sigma^2$ in the sense that it has the smallest variance among all unbiased estimators and thus minimizes the MSE.

When normality is assumed, as is the case in many applications, $S^2$ is the natural choice when you want to estimate the variance.

The time-stepped difference is indeed used in one form, the Allan Variance. http://www.allanstime.com/AllanVariance/

Lots of good answers here, but I'll add a few.

1. The way it is defined now has proven useful. For example, normal distributions appear all the time in data and a normal distribution is defined by its mean and variance. Edit: as @whuber pointed out in a comment, there are various other ways specify a normal distribution. But none of them, as far as I'm aware, deal with pairs of points in sequence.
2. Variance as normally defined gives you a measure of how spread out the data is. For example, lets say you have a lot of data points with a mean of zero but when you look at it, you see that the data is mostly either around -1 or around 1. Your variance would be about 1. However, under your measure, you would get a total of zero. Which one is more useful? Well, it depends, but its not clear to me that a measure of zero for its "variance" would make sense.
3. It lets you do other stuff. Just an example, in my stats class we saw a video about comparing pitchers (in baseball) over time. As I remember it, pitchers appeared to be getting worse since the proportion of pitches that were hit (or were home-runs) was going up. One reason is that batters were getting better. This made it hard to compare pitchers over time. However, they could use the z-score of the pitchers to compare them over time.

Nonetheless, as @Pere said, your metric might prove itself very useful in the future.