İki bağımlı çok değişkenli normal rastgele değişkenin doğrusal kombinasyonu

Rastgele değişkenlerin iki vektörünüz olduğunu varsayalım, her ikisi de normaldir, yani ve . Bu doğrusal kombinasyonu dağılımı ile ilgili olarak , ve matrisleridir, bir vektördür. Eğer ve bağımsız olarak, . Soru, herhangi bir çiftin korelasyonunu bildiğimizi varsayarak, bağımlı . Teşekkür ederim. $X \sim N(\mu_X, \Sigma_X)$ $Y \sim N(\mu_Y, \Sigma_Y)$ $Z = A X + B Y + C$ $A$ $B$ $C$ $X$ $Y$ $Z \sim N(A \mu_X + B \mu_Y + C, A \Sigma_X A^T + B \Sigma_Y B^T)$ $(X_i, Y_i)$

En iyi dileklerimle, Ivan

probability normal-distribution multinomial

— Ivan
kaynak

Yanıtlar:

Bu durumda, açıkça gösterimlerle) ( düzenlendi: nin ortak normallerini varsayarak ) Sonra ve ie

(\begin{matrix} X \\ Y \end{matrix}) \sim N [(\begin{matrix} μ_{X} \\ μ_{Y} \end{matrix}), Σ_{X, Y}]

$\left(\begin{matrix}X\\Y \end{matrix}\right) \sim \mathcal{N}\left[ \left(\begin{matrix}\mu_X\\\mu_Y\end{matrix}\right), \Sigma_{X,Y} \right]$

(X, Y)

$(X,Y)$

A X + B Y = (\begin{matrix} A & B \end{matrix}) (\begin{matrix} X \\ Y \end{matrix})

$AX+BY=\left(\begin{matrix}A& B \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}X\\Y \end{matrix}\right)$

A X + B Y + C \sim N [(\begin{matrix} A & B \end{matrix}) (\begin{matrix} μ_{X} \\ μ_{Y} \end{matrix}) + C, (\begin{matrix} A & B \end{matrix}) Σ_{X, Y} (\begin{matrix} A^{T} \\ B^{T} \end{matrix})]

$AX+BY+C \sim \mathcal{N}\left[ \left(\begin{matrix}A& B \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}\mu_X\\\mu_Y\end{matrix}\right) + C, \left(\begin{matrix}A & B \end{matrix}\right)\Sigma_{X,Y} \left(\begin{matrix}A^T \\ B^T \end{matrix}\right)\right]$

A X + B Y + C \sim N [A μ_{X} + B μ_{Y} + C, A Σ_{X X} A^{T} + B Σ_{X Y}^{T} A^{T} + A Σ_{X Y} B^{T} + B Σ_{Y Y} B^{T}]

$AX+BY+C \sim \mathcal{N}\left[A\mu_X + B\mu_Y +C, A\Sigma_{XX}A^T+B\Sigma_{XY}^TA^T+A\Sigma_{XY}B^T+B\Sigma_{YY}B^T \right]$

— Xi'an
kaynak

Göz ardı edilmesi durumunda, başka bir yanıta yapılan yorum dizisinin (a) bu kovaryans hesaplamalarının iyi olduğunu (doğal ancak dengesiz bir blok matris notasyonu içerdiğini anlamak) gösterdiğini ancak (b) lineer kombinasyonların normal olarak geçerli olduğu sonucuna varamayacağımızı unutmayın. ek bir varsayım yapana kadar dağıtılır; yani, bu ve bir olması ortak değişkenli normal dağılım.

X

$X$

Y

$Y$

— whuber

Eğer aldığım ne açıklayabilir misiniz için son satırında? Ben düşünce ki ve sonuç daha da basitleştirilmez. Burada olduğu değil de yana simetrik bir matris inci elemanı olup onun ise inci elemanıdır ve bu kovaryansların eşit olması için hiçbir neden yoktur.

B Σ_{X Y}^{T} A^{T} + A Σ_{X Y} B^{T}

$B\Sigma_{XY}^TA^T+A\Sigma_{XY}B^T$

2 A Σ_{X Y} B^{T}

$2A\Sigma_{XY}B^T$

B Σ_{X Y}^{T} A^{T} + A Σ_{X Y} B^{T} = (A Σ_{X Y} B^{T})^{T} + A Σ_{X Y} B^{T}

$B\Sigma_{XY}^TA^T+A\Sigma_{XY}B^T = (A\Sigma_{XY}B^T)^T + A\Sigma_{XY}B^T$

Σ_{X Y}

$\Sigma_{XY}$

(i, j)

$(i,j)$

cov (X_{i}, Y_{j})

$\text{cov}(X_i,Y_j)$

(j, i)

$(j,i)$

cov (X_{j}, Y_{i})

$\text{cov}(X_j,Y_i)$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate: (+1) haklısınız, genel durumda, bu iki terimin eşit olması için bir neden yoktur.

— Xi'an

ve normalde kovaryans sağ üst blok ile birlikte dağıtıldığını varsaymadıkça sorunuzun şu anda olduğu gibi benzersiz bir cevabı yok . Bu demek istediğini düşünüyorum çünkü X ve Y arasında her bir kovaryans var diyorsun Bu durumda biz de çok değişkenli normal yazabilirsiniz . o zaman , cinsinden şu şekilde verilir : $X$ $Y$ $\Sigma_{XY}$ $W=(X^T,Y^T)^T$ $Z$ $W$

Z = (A, B) W + C

$Z=(A,B)W+C$

Daha sonra doğrusal kombinasyon için normal formülünüzü kullanın. Ortalamanın değişmediğini, ancak kovaryans matrisinin ek iki terim $A\Sigma_{XY}B^T+B\Sigma_{XY}^TA^T$

— probabilityislogic
kaynak

Bu konuyu işaret ettiğiniz için teşekkür ederim, aslında, bunu bile düşünmedim, ancak görünüşe göre, değişkenler, bileşenleri ilişkili olsa bile, benim durumumda, normal olarak ortak olarak dağıtılmış olarak görülebilir.

— Ivan

Sorunun ortaya atıldığı gibi çözülemeyeceğine katılıyorum. Olabilir çözülecek basit bir şekilde bir varsayar takdirde, Xi'an'ın cevabı yok @ gibi, ve birlikte normal dağıtılır. Eklem dağılımı eklem normalinden başka bir şey olarak belirtilirse, muhtemelen daha zor bir şekilde çözülebilir. Ama bilerek tüm , değil ortalama yapar , normal çok değişkenli bir . Sonlu varyanslara sahip herhangi iki rasgele değişken bir kovaryansa sahiptir. Kovaryans yalnızca normal veya birlikte normal rastgele değişkenler için tanımlanmamıştır .

X

$X$

Y

$Y$

cov (X_{i}, Y_{j})

$\text{cov}(X_i,Y_j)$

i, j

$i, j$ $W = (X^T,Y^T)^T$

— Dilip Sarwate

Benim durumumda, X ve Y birlikte normaldir, nedenini açıklamaya çalışacağım, yanlışsam lütfen beni düzeltin. Bir dizi bağımsız tek değişkenli normal rv olduğunu varsayalım. X ve Y'nin her elemanı, bu tek değişkenli değişkenlerin kümeden rastgele doğrusal bir kombinasyonudur. Bu nedenle, başlangıç değişkenleri bağımsız olduğu ve sadece doğrusal dönüşümler içerdiği için, sonuçtaki X, Y ve Z vektörlerinin hepsi çok değişkenli normal rv'lerdir. Çok değişkenli normal bir rv tanımını izler, burada herhangi bir vektör için tek değişkenli normal bir rv olmalıdır . Mantıklı geliyor?

a^{T} X

$a^T X$

a

$a$

— Ivan

@Ivan Açıklamanız mantıklı, ancak şikayet "Rastgele değişkenlerin iki vektörüne sahip olduğumuzu varsayalım, her ikisi de normal, yani ve " anlamına gelir, bu da ve birlikte normal olduğu anlamına gelmez . Ne de "Biz herhangi çiftinin korelasyon biliyorum diyerek yapar demek oluyor" ve vardır ortaklaşa normaldir , olsa bile doğru devlet olarak ima normaldir (ve benzer şekilde .) Tek değişkenli normalite

X \sim N (μ_{X}, Σ_{X})

$X\sim N(\mu_X,\Sigma_X)$

Y \sim N (μ_{Y}, Σ_{Y})

$Y\sim N(\mu_Y,\Sigma_Y)$

X

$X$

Y

$Y$

(X_{i}, Y_{i})

$(X_i,Y_i)$

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$

X \sim N (μ_{X}, Σ_{X})

$X\sim N(\mu_X,\Sigma_X)$

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$ gelmez ortak normalliği ima. Aşağıdaki referansa bakın.

— Dilip Sarwate

@Ivan Bu soruyu

— Dilip Sarwate