Düzgün dağılımdan üstel dağılıma ve tam tersi

Bu muhtemelen önemsiz bir soru, ancak bu wikipedia makalesi ve "Dağıtımlar Özeti" belgesi dahil olmak üzere aramam şimdiye kadar sonuçsuz kaldı .

Eğer bir tekdüze dağılım vardır, demek bir üslü dağılımı aşağıdaki gibidir?e $X$$e^X$

Benzer şekilde, üstel bir dağılımı , eşit bir dağılımı izliyor mu?L , n ( Y $Y$$ln(Y)$

Tekdüze rastgele bir değişkenin üssel hale getirilmesi, üslü bir değer vermediği gibi, üslü bir rastgele değişkenin günlüğünü almanın da tekdüze vermediği durum değildir.

üzerinde eşit olsun ve .( 0 , 1 ) X = exp ( U $U$$(0,1)$$X=\exp(U)$

$F_X(x) = P(X \leq x) = P(\exp(U)\leq x) = P(U\leq \ln x) = \ln x\,,\quad 1<x<e$

Yani .$f_x(x) = \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}\,,\quad 1<x<e$

Bu üstel bir değişken değildir. Benzer bir hesaplama, bir üstel kütüğün tek tip olmadığını gösterir.

Let , böylece standart bir üstel .F Y ( y ) = P ( Y ≤ y ) = 1 - e - $Y$$F_Y(y)=P(Y\leq y) = 1-e^{-y}\,,\quad y>0$

Let . Sonra .F V ( v ) = P ( V ≤ v ) = P ( ln Y ≤ v ) = P ( Y ≤ e v ) = 1 - e - e $V=\ln Y$$F_V(v) = P(V\leq v) = P(\ln Y\leq v) = P(Y\leq e^v) = 1-e^{-e^v}\,,\quad v<0$

Bu üniforma değil. (Aslında a, Gumbel Eğer çağrı dağıtımı olabilir, böylece rastgele değişken -Dağıtık a 'Gumbel'ı çevrilmiş').$-V$$V$

Bununla birlikte, her durumda, rasgele değişkenlerin sınırlarını göz önünde bulundurarak daha hızlı görebiliriz. Eğer homojen (0,1) olan 0 ile 1 arasında çok yalan arasında yer almaktadır ve üssel değil bu yüzden .... Benzer şekilde, üstel değeri için, açıktır , bu yüzden tekdüze olamaz (0,1) veya gerçekten başka bir üniforma olamaz.X = exp ( U ) 1 e Y ln Y ( - ∞ , ∞ $U$$X=\exp(U)$$1$$e$$Y$$\ln Y$$(-\infty,\infty)$

Ayrıca benzetebilir ve hemen görebiliriz:

İlk olarak, bir üniformayı üssel hale getirmek -

[mavi eğri yukarıda çalıştığımız yoğunluktur (belirtilen aralıkta 1 / x) ...]

İkincisi, üstel bir kütük:

Gördüğümüz üniforma çok uzak! (Daha önce çalıştığımız, yoğunluğu verecek olan cdf'i ayırt edersek, burada gördüğümüz şekle uyuyor.)

Aslında, ters cdf yöntemi , bir tekdüze (0,1) varyantın günlüğünün negatifinin alınmasının standart bir üstel değişken verdiğini ve tersine, standart bir üstelin negatifinin üssel hale getirilmesinin bir üniforma verdiğini gösterir. [Ayrıca olasılık integrali dönüşümüne bakınız ]

Bu yöntem bize ise olduğunu söyler . standart bir üniforma olan üzerinde bir dönüşüm olarak uygularsak, ortaya çıkan rastgele değişken dağıtım fonksiyonuna .Y = F - 1 ( U ) U F $U=F_Y(Y)$$Y = F^{-1}(U)$$U$$F_Y$

tekdüze olmasına izin verirsek (0,1), o zaman . Let . ( da (0,1) üzerinde aynı olduğunu unutmayın, bu nedenle izin verebilirsiniz , ancak burada ters cdf yöntemini tam olarak izliyoruz)Y = - ln $U$Y = - ln ( 1 - U ) 1 - $P(U\leq u) = u$$Y=-\ln (1-U)$$1-U$$Y=-\ln U$

Sonra , standart bir üsün cdf'sidir.$P(Y\leq y) = P(-\ln (1-U) \leq y) = P( 1-U \geq e^{-y}) = P( U \leq 1-e^{-y}) = 1-e^{-y}$

[ Ters cdf dönüşümünün bu özelliği , dönüşümünün aslında bir üstel dağılım elde etmek için neden gerekli olduğudur ve olasılık integral dönüşümü, negatif bir üstel negatifin üssel hale getirilmesinin üniform hale gelmesidir.]$\log$

Neredeyse önden geri döndünüz. Sen sordun:

• " tekdüze bir dağılımı varsa, üstel bir dağılım izlediği anlamına mı geliyor?"e $X$$e^X$

• "Benzer şekilde, üstel bir dağılımı izliyorsa, eşit bir dağılımı izliyor mu?"ln ( Y $Y$$\ln(Y)$

Aslında

• Eğer ilgili üniform o , aşağıdaki üssel bir dağıtım parametresi[ 0 , 1 ] - log e ( X ) $X$$[0,1]$$-\log_e(X)$$1$
• Eğer parametresini içeren bir üslü dağılımı aşağıdaki gibidir daha sonra ile homojen bir dağılımına sahip .$Y$$1$ [ 0 , 1 $e^{-Y}$$[0,1]$

Daha genel olarak şunu söyleyebilirsiniz:

• Eğer ilgili üniform o oranı parametresi ile bir üslü dağılımı aşağıdaki gibidir[ a , b ] - $X$$[a,b]$$-\frac1k \log_e\left(\frac{X-a}{b-a}\right)$$k$
• Eğer oranı parametresi ile bir üslü dağılımı aşağıdaki gibidir sonra üzerinde muntazam dağılımına sahip ise üzerinde muntazam dağılımına sahipk e - k Y [ 0 , 1 ] a + ( b - a ) e - k Y [ a , b $Y$$k$$e^{-kY}$$[0,1]$$a+(b-a)e^{-kY}$$[a,b]$