“Eşit aralıklı” örneklerden başlayarak birim disk üzerindeki gerileme

Birim disk üzerinde karmaşık bir regresyon sorununu çözmem gerekiyor. Orijinal soru bazı ilginç yorumlar çekti, ancak ne yazık ki cevap yok. Bu arada, bu sorun hakkında daha fazla şey öğrendim, bu yüzden orijinal sorunu alt problemlere ayırmaya çalışacağım ve bu sefer daha iyi şansım olup olmadığını göreceğim.

Birim disk içindeki dar bir halkaya düzenli olarak yerleştirilmiş 40 sıcaklık sensörünüz var:

Bu sensörler zaman içinde sıcaklık alır. Bununla birlikte, zaman varyasyonu uzay varyasyonundan çok daha küçük olduğundan, zaman değişkenliğini göz ardı ederek sorunu basitleştirelim ve her sensörün bana sadece bir zaman ortalaması verdiğini varsayalım. Bu, 40 numunem (her sensör için bir tane) ve tekrarlanan numunelerim olmadığı anlamına gelir.

Bir regresyon yüzeyi inşa etmek istiyorum $T=f(\rho,\theta)+\epsilon$sensör verilerinden. Regresyonun iki hedefi vardır:

1. Ortalama bir radyal sıcaklık profili tahmin etmem gerekiyor $T_{mean}=g_1(\rho)+\epsilon$. Doğrusal regresyon ile, ortalama sıcaklık yüzeyi olan bir yüzeyi zaten tahmin ediyorum, bu yüzden sadece yüzeyimi$\theta$, sağ? Eğer regresyon için polinom kullanırsam, bu adım çocuk oyuncağı olmalıdır.
2. Radyal sıcaklık profilini tahmin etmem gerekiyor $T_{95}=g_2(\rho)+\epsilon$, böylece her radyal konumda, $P(T(\rho)<T_{95}(\rho))=.95$.

Bu iki hedef göz önüne alındığında, birim diskteki gerileme için hangi tekniği kullanmalıyım? Tabii ki, Gauss Süreçleri yaygın olarak mekansal regresyon için kullanılır. Ancak birim disk için iyi bir çekirdeğin tanımı önemsiz değildir, bu yüzden kaybedilen bir strateji olduğunu düşünmedikçe işleri basit tutmak ve polinomları kullanmak istiyorum. Zernike polinomlarını okudum . Zernike polinomları birim disk üzerindeki regresyon için uygun görünmektedir, çünkü bunlar periyodik olarak$\theta$.

Model seçildikten sonra, bir tahmin prosedürü seçmem gerekiyor. Bu bir uzamsal regresyon problemi olduğundan, farklı konumlardaki hatalar ilişkilendirilmelidir. Sıradan En Küçük Kareler ilişkisiz hatalar alır, bu yüzden Genelleştirilmiş En Küçük Kareler daha uygun olacağını düşünüyorum. glsStandart R dağılımında bir fonksiyon olduğu göz önüne alındığında, GLS nispeten yaygın bir istatistiksel teknik gibi görünüyor . Ancak, GLS'yi hiç kullanmadım ve şüphelerim var. Örneğin, kovaryans matrisini nasıl tahmin edebilirim? Sadece birkaç sensörle bile çalışılmış bir örnek harika olurdu.

PS Zernike polinomlarını ve GLS'yi kullanmayı seçtim çünkü bana burada yapılması mantıklı bir şey gibi geliyor. Ancak uzman değilim ve yanlış yöne gittiğimi düşünüyorsanız, tamamen farklı bir yaklaşım kullanmaktan çekinmeyin.

Bence Zernike polinomları gibi bir şeyi düşünmek için doğru yoldasınız . Cevabın jwimberly tarafından belirtildiği gibi, bunlar bir disk üzerindeki dikey temel fonksiyonlar sistemine bir örnektir . Zernike polinomlarına aşina değilim, ancak diğer birçok ortogonal fonksiyon ailesi (Bessel fonksiyonları dahil) doğal olarak klasik matematiksel fizikte belirli kısmi diferansiyel denklemler için özfonksiyonlar olarak ortaya çıkıyor (bu yazı sırasında, o bağlantının üstündeki animasyon bile titreşimli tambur kafasının bir örneğini gösterir).

Aklıma iki soru geliyor. İlk olarak, peşinde olduğunuz tek şey radyal profilse ($\theta$ortalama), o zaman uzamsal desen üzerinde ne kadar kısıtlamaya ihtiyacınız var? İkincisi, uzay-zamansal verilerde ne tür değişkenlikler oluşur?

İlk soru açısından akla gelen iki endişe var. Kutupsal koordinatlar nedeniyle, her sensör için destek alanı,$r$. İkinci endişe, takma adlandırma olasılığıdır , esas olarak sensörlerinizin modelin fazına göre yanlış hizalanması (bir Fourier / Bessel benzetmesi kullanmak için). Örtüşmenin büyük olasılıkla pik sıcaklıkların sınırlanmasındaki birincil belirsizlik olacağını unutmayın (ör.$T_{95}$).

Bu ikinci soru açısından, veri değişkenliği aslında herhangi bir takma sorununa yardımcı olabilir, bu da aslında herhangi bir yanlış hizalamanın farklı ölçümler üzerinden ortalamalanmasına izin verir. (Sistematik bir önyargı olmadığı varsayılırsa ... ancak bu, daha fazla bilgi vermek için fiziksel bir model olmadan herhangi bir yöntem için bir sorun olacaktır).

Dolayısıyla bir olasılık, mekansal dikey fonksiyonlarınızı yalnızca sensör konumlarında tanımlamak olacaktır. Bu "Ampirik Dik Fonksiyonlar" uzamsal veri matrisinizde PCA üzerinden hesaplanabilir . (Değişken sensör destek alanlarını hesaba katmak için bir miktar ağırlıklandırma kullanabilirsiniz, ancak düzgün polar ızgara ve radyal ortalamaların hedefi göz önüne alındığında, bu gerekli olmayabilir.)

Orada eğer Not olan yoğun bir uzaysal hesaplama ızgara üzerine sıcaklık "beklenen" varyasyonları için uygun herhangi bir fiziksel modelleme veriler, daha sonra aynı PCA prosedürü tatbik edilebilir olduğu derived ortogonal fonksiyonları veri. (Buna genellikle model indirgeme için kullanıldığı mühendislikte " Uygun Ortogonal Ayrışma " denirdi , örneğin pahalı bir hesaplamalı akışkanlar dinamiği modeli, daha fazla tasarım faaliyetlerinde kullanılmak üzere damıtılabilir.)

Son bir yorum, sensör verilerini destek alanına göre (yani kutup hücre boyutu) ağırlıklandırmak olsaydı, bu GLS çerçevesinde bir tür diyagonal kovaryans olurdu . (Ağırlıklı PCA yakından ilişkili olsa da, tahmin probleminiz için daha fazla geçerli olacaktır.)

Umarım bu yardımcı olur!

Güncelleme: Sensör dağıtımına ilişkin yeni diyagramınız benim görüşüme göre işleri önemli ölçüde değiştiriyor. Diskin iç kısmındaki sıcaklıkları tahmin etmek istiyorsanız, basitçe "birim diskteki dikey fonksiyonlar kümesinden" çok daha bilgilendirici olmanız gerekir . Sensör verilerinde çok az bilgi var.

Gerçekten de disk üzerindeki uzamsal sıcaklık değişimini tahmin etmek istiyorsanız, görebildiğim tek makul yol, sorunu veri asimilasyonlarından biri olarak ele almak olacaktır . Burada en azından bazı fizik tabanlı düşüncelere dayanarak uzamsal dağılımın parametrik biçimini kısıtlamanız gerekir (bunlar simülasyonlardan olabilir veya benzer dinamiğe sahip sistemlerde ilgili verilerden olabilir).

Ki özel uygulamayı bilmiyorum ama idare gibi ise bu , o zaman uygun öncesinde kısıtlamaları seçmek için üzerine çizmek verebilecek geniş bir mühendislik literatür vardır hayal ediyorum. (Bu tür ayrıntılı alan bilgisi için, bu muhtemelen sorulması gereken en iyi StackExchange sitesi değildir.)

Zernlike polinomları kötü bir seçim gibi gelmiyor, çünkü zaten $r$ ve $\theta$bağımlılık ve diklik pişirilir. Bununla birlikte, sıcaklığı incelediğiniz için, tartışmalı olarak daha uygun ve daha iyi bilinen bir seçim Bessel işlevleri olacaktır . Bunlar, silindirik nesneler / koordinat sistemlerindeki ısı akışı çalışmasında ortaya çıkar ve bu nedenle fiziksel olarak daha uygun olma şansı vardır. N. Bessel fonksiyonu, polar bağımlılık için karşılık gelen bir trigonometrik fonksiyonla ilişkili radyal bağımlılığı verecektir; detayları birçok fizik ve PDE ders kitabında bulabilirsiniz.