Kosinüs benzerliği, pearson korelasyonu ve z skoru arasında bir ilişki var mı?

Bu 3 önlem arasında herhangi bir ilişki olup olmadığını merak ediyorum. Tanımlara atıfta bulunarak aralarında bağlantı kuramıyorum (muhtemelen bu tanımlara yeniyim ve onları kavramak için biraz zorlanıyorum).

Kosinüs benzerliğinin aralığının 0 - 1 arasında olabileceğini ve pearson korelasyonunun -1 ila 1 arasında olabileceğini biliyorum ve z skorunun aralığında emin değilim.

Bununla birlikte, kosinüs benzerliğinin belirli bir değerinin size pearson korelasyonu veya z skoru hakkında nasıl bir şey söyleyebileceğini bilmiyorum, ya da tam tersi?

correlation z-score cosine-similarity

— Jaken Herman
kaynak

z ne puanı ? Bazı şeylerin z skorları Pearson korelasyonu ile ilişkili olabilir , diğerlerinin z skorları olmayabilir. Örneğin, orijinal değişkenlerinizi dahili olarak standartlaştırırsanız, x ve y arasındaki Pearson korelasyonu, z-skorlarının beklenen ürünüdür. Ya da Pearson korelasyonu ile ilgili olacak Pearson korelasyonlarının z-skorlarından bahsediyor olabilirsiniz (Pearson korelasyonları eksi bir koşul altında beklentileri hepsi Pearson korelasyonunun standart hatasına bölünür).

— Glen_b

Doğrudan ilişki: stats.stackexchange.com/a/22520/3277

— ttnphns

$a$ $b$

\cos θ = \frac{a \cdot b}{‖ a ‖ ‖ b ‖}

$\cos\theta = \frac{a\cdot b}{\lVert{a}\rVert \, \lVert{b}\rVert}$

Bir vektörü için " puanı" vektörü genellikle burada ve , ortalama ve standart sapmasıdır . Yani yani ortalama 0 ve standart sapması 1 sahiptir olan standartlaştırılmış sürümü . $x$ $z$

z = \frac{x - \bar{x}}{s_{x}}

$z=\frac{x-\bar{x}}{s_x}$

\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i} x_{i}

$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_ix_i$

s_{x}^{2} = \bar{(x - \bar{x})^{2}}

$s_x^2=\overline{(x-\bar{x})^2}$

x

$x$

z

$z$

z_{x}

$z_x$

x

$x$

İki ve vektörü için korelasyon katsayıları $x$ $y$

ρ_{x, y} = \bar{(z_{x} z_{y})}

$\rho_{x,y}=\overline{(z_xz_y)}$

Şimdi vektörü sıfır ortalamaya sahipse, varyansı , bu nedenle birim vektörü ve z-skoru ile ilişkili olacaktır $a$ $s_a^2=\frac{1}{n}\lVert{a}\rVert^2$

\hat{a} = \frac{a}{‖ a ‖} = \frac{z_{a}}{\sqrt{n}}

$\hat{a}=\frac{a}{\lVert{a}\rVert}=\frac{z_a}{\sqrt n}$

Dolayısıyla ve vektörleri ortalanırsa (yani sıfır yol varsa), kosinüs benzerlikleri korelasyon katsayılarıyla aynı olacaktır. $a$ $b$

TL; DR Kosinüs benzerliği birim vektörlerin nokta çarpımıdır. Pearson korelasyonu, ortalanmış vektörler arasındaki kosinüs benzerliğidir. Bir vektörün "Z-skor dönüşümü", normuna ölçeklendirilmiş ortalanmış vektördür . $\sqrt n$

— GeoMatt22
kaynak

+1. latexnazi yorumu: \|genellikle daha iyi görünüyor ||ve \lVert ... \rVertyazmak için en iyi yoldur.

— amip diyor ki Reinstate Monica