Bir RV'nin logaritmasının beklenen değerine sahipsem, RV'nin kendisinin beklenen değerini alabilir miyim?

verildiğini varsayın, 'i kapalı form biçiminde türetebilir miyim ? $\text{E}[\log(X)]$ $\text{E}[X]$

expected-value logarithm

— Théoden'in
kaynak

X veya x günlüğünün dağılımını biliyor musunuz ? Örneğin. bu

x

$x$ normal dağılım? En genel durumda

x

$x$ rasgele bir dağılımın ardından, fazla bir şey söyleyemezsiniz.

— Matthew Gunn

Hayır. Yalnızca log (x) 'un ortalama değeri verilir.

— Theoden

Söyleyebileceğin hemen hemen hepsi

E [\log (x)] \leq \log (E [x])

$\mathrm{E}[\log(x)] \leq \log \left( \mathrm{E}[x] \right)$ Jensen eşitsizliğinden dolayı .

— Matthew Gunn

Hayır.

Örneğin, $X$ bir günlük normal dağılımını izler, burada $\log(X) \sim N(\mu,\sigma)$ , sonra $E[\log(x)] = \mu$ ve bağımsız $\sigma$ . Ancak, ortalaması $E[X] = \exp \left(\mu + \frac{\sigma^2}{2} \right)$ . Açıkçası, $\sigma$ bağımlı sayı $\sigma$ bağımsız numara.

— jwimberley
kaynak

Mantıklı. O zaman daha fazla bilgiye ihtiyacım var.

— Theoden

Veya çok basit bir örnek için, ayrık rasgele değişkenler X'i (1/3 olasılıkla 1/3 ve 10 olasılık 2/3 ile 1 alarak) ve Y'yi (olasılık 2/3 ve 100 olasılık 1/3 ile 1 değerini alarak) düşünün . Daha sonra E [log X] = E [log Y] = 1/3 (veya logaritmalarınızı 10'dan daha mantıklı bir tabana almayı tercih ederseniz, ancak herhangi bir baz log 100 = 2 log 10'dan beri hala eşitse başka bir sayı). Ancak E [X]! = E [Y].

— Steve Jessop