Jacobian faktörüne bağlı farklı olasılık yoğunluk dönüşümleri

Bishop'un Örüntü Tanıma ve Makine Öğreniminde , olasılık yoğunluğundan hemen sonra aşağıdakileri okudum : $p(x\in(a,b))=\int_a^bp(x)\textrm{d}x$

Doğrusal olmayan bir değişken değişikliği altında, olasılık yoğunluğu, Jacobian faktörüne bağlı olarak basit bir işlevden farklı bir şekilde dönüşür. Örneğin, değişkenlerinde bir değişiklik düşünürsek , işlevi . Şimdi , yeni değişken göre yoğunluğuna karşılık gelen bir olasılık yoğunluğu , burada ve nin farklı yoğunluklar olduğunu gösterir. Aralıkta düşen gözlemler , değerleri için aralığa dönüştürülecek $x = g(y)$ $f(x)$ $\tilde{f}(y) = f(g(y))$ $p_x(x)$ $p_y(y)$ $y$ $p_x(x)$ $p_y(y)$ $(x, x + \delta x)$ $\delta x$ $(y, y + \delta y$ ) burada $p_x(x)\delta x \simeq p_y(y)δy$ ve dolayısıyla $p_y(y) = p_x(x) |\frac{dx}{dy}| = p_x(g(y)) | g\prime (y) |$ .

Jacobian faktörü nedir ve her şey tam olarak ne anlama gelir (belki niteliksel olarak)? Bishop, bu özelliğin bir sonucunun, maksimum olasılık yoğunluğu kavramının değişken seçimine bağlı olduğunu söylüyor. Ne anlama geliyor?

Bana göre bu biraz maviden çıkıyor (giriş bölümünde olduğu düşünülüyor). Bazı ipuçlarını takdir ediyorum, teşekkürler!

machine-learning probability

— ste
kaynak

"Dönüştürülmüş bir değişkenin yoğunluğu için sezgisel açıklama" yararlı olabilir. "Jacobian" ile ilgili olarak lütfen sitemizde arama yapın .

— whuber

Jacobian faktörünün büyük bir açıklaması için Khan Academy'nin Jacobian determinantına ilişkin video eğitimine bakın. khanacademy.org/math/multivariable-calculus/…

— JStrahl

İyi bir sezgi sağlayan Soru 1.4'ün çözümünü okumanızı öneririm .

Özetle, rastgele bir fonksiyonuna ve fonksiyonuyla birbiriyle ilişkili iki değişken ve sahipseniz, fonksiyonunu doğrudan analiz ederek : veya dönüştürülmüş işlev : . Şaşırtıcı değil, ve her biri (burada . $f(x)$ $x$ $y$ $x = g(y)$ $f(x)$ $\hat{x} = argmax_x(f(x))$ $f(g(y))$ $\hat{y} = argmax_y(f(g(y))$ $\hat{x}$ $\hat{y}$ $\hat{x} = g(\hat{y})$ $\forall{y}: g^\prime(y)\neq0)$

Bu olasılık dağılımları için geçerli değildir. Bir olasılık dağılımınız ve birbiriyle ilişkili iki rastgele değişkeniniz varsa . O zaman ve arasında doğrudan bir ilişki yoktur . Bu, hacmin Gibi bir işlevle göreceli olarak nasıl değiştiğini gösteren bir faktör olan Jacobian faktörü nedeniyle olur . $p_x(x)$ $x=g(y)$ $\hat{x} = argmax_x(p_x(x))$ $\hat{y}=argmax_y(p_y(y))$ $g(.)$

— MajidL
kaynak