Cauchy dağılımının örnek araçlarının dağılımı nedir?

14

Tipik olarak, bir dağılımın rastgele örnek ortalamalarını (örnek büyüklüğü 30'dan büyük olan) alırsa, ortalama değer etrafında ortalanan normal bir dağılım elde edilir. Ancak Cauchy dağılımının ortalama bir değeri olmadığını duydum. Cauchy dağılımı için örnek araçlar elde edilirken ne gibi bir dağılım elde edilir?

Temelde Cauchy dağılımı için $\mu_x$ undefined yani ne $\mu_{\bar{x}}$ ve dağılımı nedir $\bar{x}$ ?

cauchy

— Steven Stewart-Gallus
kaynak

1

Gönderen Vikipedi sayfasında , bu örneklerin kendilerini aynı dağılıma sahip olur iid Cauchy değişkenlerin örnek ortalaması gibi görünüyor.

— GeoMatt22

19

Eğer $X_1, \ldots, X_n$ Cauchy var mı $(0, 1)$ o zaman bunu gösterebiliriz $\bar{X}$ ayrıca Cauchy $(0, 1)$ karakteristik işlev bağımsız değişkenini kullanarak:

\begin{aligned} φ_{\bar{X}} (t) & = E (e^{ben t \bar{X}}) \\ = E (Π_{j = 1}^{n} e^{ben t X_{j} / n}) \\ = Π_{j = 1}^{n} E (e^{ben t X_{j} / n}) \\ = E {(e^{ben t X_{1} / n})}^{n} \\ = e^{- | t |} \end{aligned}

$\begin{align} \varphi_{\bar{X}}(t) &= \text{E} \left (e^{it \bar{X}} \right ) \\ &= \text{E} \left ( \prod_{j=1}^{n} e^{it X_j / n} \right ) \\ &= \prod_{j=1}^{n} \text{E} \left ( e^{it X_j / n} \right ) \\ &= \text{E} \left (e^{it X_1 / n} \right )^n \\ &= e^{- |t|} \end{align}$

standart Cauchy dağılımının karakteristik fonksiyonudur. Daha genel Cauchy'nin kanıtı $(\mu, \sigma)$ durum temelde aynıdır.

— dsaxton
kaynak

8

Bazı detaylar arasında bağlantı kurmakta zorluk çekenlere yardım etmek için, ikinci satırdan üçüncü satıra kadar olan adım bağımsızlık kullanır, diğeri "özdeş olarak dağıtılmış" kullanır, bir sonraki adım birkaç şekilde yapılabilir, ancak en kolayı güç içindeki beklentinin bir Cauchy cf için olanla aynı integraldir

t / n

$t/n$ , yani (eğer bir Cauchy için cf'yi zaten biliyorsanız)

[e^{- | t / n |}]^{n}

$[e^{-|t/n|}]^n$ ve sonra

n

$n$ inci güç

n

$n$ şartlar iptal.

— Glen_b

Diğer cevabın bunun istikrarlı bir dağılım olduğu anlamına da geldiğini sevdim .

— Apollys, Monica'yı

5

Tipik olarak, bir dağılımın rastgele örnek ortalamalarını (örnek büyüklüğü 30'dan büyük olan) alırsa, ortalama değer etrafında ortalanan normal bir dağılım elde edilir.

Tam olarak değil. Bir dizi verdiğini belirten merkezi limit teoremini düşünüyorsunuz $X_n$ sonlu varyanslı IID rasgele değişkenlerin (kendisi sonlu bir ortalama anlamına gelir) $μ$ ), ifade $\sqrt{n}[(X_1 + X_2 + \cdots + X_n)/n - μ]$ dağılımı normal bir dağılıma yakınsa $n$ sonsuzluğa gider. Değişkenlerin herhangi bir sonlu alt kümesinin örnek ortalamasının normal olarak dağıtılacağının garantisi yoktur.

Ancak Cauchy dağılımının ortalama bir değeri olmadığını duydum. Cauchy dağılımı için örnek araçlar elde edilirken ne gibi bir dağılım elde edilir?

GeoMatt22'nin dediği gibi, örnek araçların kendileri Cauchy dağıtılmış olacak. Başka bir deyişle, Cauchy dağılımı kararlı bir dağılımdır .

Merkezi limit teoreminin Cauchy dağıtılmış rasgele değişkenleri için geçerli olmadığına dikkat edin, çünkü bunlar sınırlı ortalama ve varyansa sahip değildir.

— Kodiologist
kaynak

Yorumumun "örnek ortalaması da Cauchy" den biraz daha güçlü olması amaçlandı, çünkü örnek ortalaması aynı parametrelere sahip olacak . Yani, normal bir dağılımda olduğu gibi, konum parametresi aynı olacaktır, ancak normal durumdan farklı olarak, ölçek parametresi de aynı olacaktır (oysa normal durum için, ölçek

1 / \sqrt{N}

$1/\sqrt{N}$ ). En azından bu, bağlantımda listelenen ilk 2 dönüşüm özelliğini yorumum.

— GeoMatt22

1

Dediniz ki: " n sonsuzluğa gittikçe dağılımdaki ilk n element yakınsamalarının ortalama ortalaması " ... tam olarak değil. CLT için gerekenden daha zayıf koşullar altında, ortalamanın kendisi sabit

μ

$\mu$ (büyük sayıların zayıf kanunları tarafından). Normal dağılıma yakınsama elde etmek için ortalamayı standartlaştırmanız gerekir.

— Glen_b

@DilipSarwate Düzeltildi. Başkalarının yanıtlarını düzenleyebileceğinizi unutmayın.

— Kodiolog