52 desteden 20 kart çekildiğinde dörtlü çizim yapma olasılığı nedir?

Dün ev arkadaşlarım ve ben kart oyunları oynuyorduk ve birisi bu soruyu attı. Sorunu çözmeye çalıştık, ama çözemedik. Bu sabah uyandım ve hala nasıl çözüleceğini merak ediyorum. Lütfen bana yardım eder misin?

13 çeşit var, bu yüzden sorunu tek bir tür için çözebilir ve daha sonra oradan ilerleyebiliriz.

Öyleyse soru, aynı 4 başarı (kral) ve 48 arızanın yerine koymadan 48 başarısızlıktan 20 numunede 4 başarı (kral gibi) çizme olasılığı nedir?

Hipergeometrik dağılım (wikipedia) bize bu sorunun cevabını verir ve bunun 1,8% 'dir.

Eğer bir arkadaşınız 4 krala ve diğeri dört kraliçe kazanmaya bahis yaparsa, her ikisinin de% 1.8 kazanma şansı vardır. En az birinin kazanma olasılığının ne olduğunu söylemek için iki bahisin ne kadar örtüştüğünü bilmemiz gerekir.

Her iki kazancın da örtüşmesi ilk soruya benzer: 8 numunenin (krallar ve kraliçeler) ve 44 başarısızlığın dağılımından 20 örnekte 8 başarı (kral ve kraliçe) çekme olasılığı nedir?

Cevap yine hipegeometrik, ve benim hesaplamaya göre% 0.017.

Bu nedenle, iki arkadaştan en az birinin kazanma olasılığı% 1.8 + 1.8% - 0.017% = 3.6%

Bu akıl yürütme çizgisine devam ederken, kolay kısım bireysel türlerin olasılıklarını (13 * 1.8% =% 23.4) toplamak ve zor kısım, bu 13 senaryonun hepsinin ne kadar örtüştüğünü bulmaktır.

4 kral ya da 4 kraliçe ya da 4 as elde etme olasılığı, her bir türden dördü eksi üst üste binme elde etme toplamıdır. Örtüşme 4 kral ve 4 kraliçe (4 as değil), 4 kral ve 4 as (4 kraliçe değil) elde etmek, 4 kraliçe ve 4 as (4 kral değil) elde etmek ve 4 kral ve 4 kraliçe elde etmekten oluşur ve 4 as.

Burası devam etmem için çok kıllı oluyor, ancak wikipedia'daki hipergeometrik formülle bu şekilde ilerleyerek, devam edip hepsini yazabilirsiniz.

Belki birisi sorunu azaltmamıza yardımcı olabilir?

En az belirtilen dört çeşit çizim yapmak için gerekli tüm kartları çizmeliyiz . Bu hepimizin çizmeniz gereken bir hipergeometrik dağılımı ise büyüklükte nüfustan başarılar vardır dört-of-a-tür tür setleri. Bu nedenle, alma şansı en az dört-of-a-tür olan$k$$4k$$4k$$52.$$\binom{13}{k}$$k$

$\binom{13}{k} \frac{\binom{4k}{4k}\binom{52-4k}{20-4k}}{\binom{52}{20}} = \binom{52}{20}^{-1} \binom{13}{k} \binom{52-4k}{20-4k} ,$ için$0\leq k\leq5.$

İçerme-hariç tutma ilkesine göre, en az bir tür dörtlü çizme olasılığı bu nedenle

$\binom{52}{20}^{-1} \sum_{k=1}^5 (-1)^{k+1} \binom{13}{k} \binom{52-4k}{20-4k} = -\binom{52}{20}^{-1} \sum_{k=1}^5 (-1)^k \binom{13}{k} \binom{4(13-k)}{4\times 8} .$

Bu sayısal olarak yaklaşık olarak hesaplanabilir$0.2197706.$

Yukarıdaki toplam, terimini daha sonra çıkarırsak biçimindedir. , için kullanılan terimler sıfıra eşittir. Bu tür bir toplamı basitleştirmenin bir yolu olup olmadığını merak ediyorum.$\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} \binom{r(n-k)}{rm},$$k=0$$5<k\leq 13$