Project Euler problemi 213'e (“Pire Sirki”) nasıl yaklaşılmalıdır?

Project Euler 213'ü çözmek istiyorum, ancak nereden başlayacağımı bilmiyorum çünkü İstatistik alanında uzmanım, Monte Carlo yönteminin işe yaramayacağı için doğru bir yanıtın gerekli olduğuna dikkat edin. Okumam gereken bazı istatistik konularını önerebilir misiniz? Lütfen çözümü buraya göndermeyin.

Pire sirki

30 × 30 karelik ızgara, başlangıçta kare başına bir pire olmak üzere 900 pire içerir. Bir zil çalındığında, her pire rastgele bitişik bir kareye atlar (ızgaranın kenarındaki veya köşelerindeki pire hariç genellikle 4 olasılık).

Zilin 50 halkasından sonra boş kalan kare sayısı nedir? Cevabınızı altı ondalık basamağa yuvarlayın.

Haklısın; Monte Carlo uygulanamaz. (Saf bir simülasyonunda - olan, tam olarak bir basitleştirmeler olmadan problem durumunu üretir bir - her bir tekrar 900 pire hareket içerecektir bir boş hücrelerin oranının ham tahmindir. , Monte varyansı ima sonra -Carlo tahmin K gibi tekrarlamalar yaklaşık 1 / N 1 / e ( 1 - 1 / e ) = 0,2325 ... /$1/e$$N$$1/N 1/e (1 - 1/e) = 0.2325\ldots /N$. Cevabı altı ondalık basamağa sabitlemek için, 5.E-7 içinde tahmin etmeniz gerekir ve% 95 + (örneğin) güvenini elde etmek için, bu hassasiyeti yaklaşık 2.5E-7'ye yarıya indirmeniz gerekir. . Çözme verirN>4E12, yaklaşık. Bu 3.6E15 pire hamle, her biri birkaç CPU kenarı alır. Mevcut tek bir modern CPU ile tam bir yıl (yüksek verimli) bilgi işlem gerekir. Ve bir şekilde yanlış ve aşırı derecede geçici olarak yanıtın bir sayı yerine bir oran olarak verildiğini varsaydım: bir sayı olarak, hesaplamada bir milyon kat artış gerektiren üç daha önemli rakama ihtiyaç duyacağım ... Uzun süre bekleyebilir misiniz?)$\sqrt(0.2325/N) \lt 2.5E-7$$N > 4E12$

Analitik bir çözüm söz konusu olduğunda, bazı basitleştirmeler mevcuttur. (Bunlar bir Monte Carlo hesaplamasını kısaltmak için de kullanılabilir.) Beklenen boş hücre sayısı, tüm hücreler üzerindeki boşluk olasılığının toplamıdır. Bunu bulmak için, her bir hücrenin doluluk oranlarının olasılık dağılımını hesaplayabilirsiniz. Bu dağılımlar her pire (bağımsız!) Katkıları toplanarak elde edilir. Bu, söz konusu ızgaradaki herhangi bir çift hücre arasında 30 x 30 ızgara boyunca uzunluk 50'nin yol sayısını bulma sorununuzu azaltır (biri pire kökenli ve diğeri de bunun olasılığını hesaplamak istediğiniz bir hücredir pire doluluk).

Her pire için hücrelerin işgal olasılığı ile tekrarlayamazdınız. Yani, pire k başlangıçta olasılık 1 ile hücre (i (k), j (k)) 'dedır. 1 tekrardan sonra, bitişik 4 hücrenin her birinde 1/4 olasılığı vardır (bir kenarda veya içinde olmadığı varsayılarak) bir köşe). Sonra bir sonraki yineleme, bu mahallelerin her biri sırayla "bulaşır". 50 iterasyondan sonra pire için meslek olasılık matrisine sahipsiniz. Tüm 900 pire boyunca tekrarlayın (simetrilerden faydalanırsanız, bu neredeyse 8 kat azalır) ve olasılıkları ekleyin (hepsini bir kerede saklamanız gerekmez, sadece geçerli pire matrisi (hmm, çok zekice, ek bir çalışma matrisi isteyebilirsiniz) ve matrislerin mevcut toplamı). Bana bunu burada ve orada hızlandırmanın birçok yolu varmış gibi geliyor.

Bu hiçbir simülasyon içermez. Ancak, oldukça fazla hesaplama içerir; cevapları yüksek olasılıkla 6 dp doğruluktan biraz daha iyi vermek için gereken simülasyon boyutunu çalışmak ve hangi yaklaşımın daha hızlı olacağını bulmak çok zor olmamalıdır. Bu yaklaşımın simülasyonu biraz marjla geçeceğini umuyorum.

Bu problemin Monte Carlo çözümünün whuber tarafından işaret edilen 6 ondalık basamak hassasiyetiyle pratik imkansızlığına (veya pratikliğine) itiraz etmememe rağmen , altı basamaklı doğrulukla bir çözümün elde edilebileceğini düşünüyorum.

İlk olarak, şu Glen_b , parçacıklar dolayısıyla (deki gibi yeterli bir sabit rejimde değiştirilebilir olan yeterliliği bu da Markov işlemi teşkil gibi farklı hücre doluluk izlemek için). Bir sonraki basamağında yolcuların dağılımı , şu anki t zamanındaki işgalciler tarafından belirlenir . Geçiş matrisini K yazmak kesinlikle pratik değildir, ancak geçişi simüle etmek kolaydır.$t+1$$t$$K$

İkincisi, shabbychef tarafından belirtildiği gibi , sadece çift zamanlar, yani kare Markov matrisi , tek kare üzerinde kalan 450 tek (veya çift) karede doluluk sürecini takip edebilir .$K^2$

Üçüncü olarak, Asıl problem, sıfır sıklığını dikkate p 0 sonra, 50 Markov geçişler. Başlangıç noktası Markov zincirinin sabit olasılık dağılımı için çok yüksek bir değere sahip olduğu göz önüne alındığında, ( x ( t ) ) ve verilen tüm hücreler boyunca tek bir ortalama, odak p 0 = $\hat{p}_0$$50$$(\mathbf{X}^{(t)})$t=50zamanındazincirin(X(t))gerçekleşmesinin sabit olasılık dağılımından bir gerçekleşmeolduğunu düşünebiliriz. Bu, doğrudanköşedeki 2, 3 ve 4, kenardaki diğer hücreler ve iç hücrelerle orantılı olasılıkları olan çok terimli bir dağılım olanbu sabit dağıtımdanπdoğrudan simüle edebileceğimiz için hesaplama maliyetinde önemli bir azalma sağlar., sırasıyla.

Açıkça görülüyor ki, durağan dağılım, beklenen boş hücre sayısını, 450.107'ye eşit olarak doğrudan sağlar .

pot=rep(c(rep(c(0,1),15),rep(c(1,0),15)),15)*c(2,
    rep(3,28),2,rep(c(3,rep(4,28),3),28),2,rep(3,28),2)
pot=pot/sum(pot)
sum((1-pot)^450)-450
[1] 166.1069

Bu, bir Monte Carlo yaklaşımına oldukça yakındır ( makinemde 14 saat süren 10⁸ simülasyonlarına dayanarak). Ama 6 ondalık sayı için yeterince yakın değil.$166.11$

Whuber tarafından yorumlandığı gibi , soruyu doğru cevaplamak için tahminlerin 2 ile çarpılması gerekir, bu nedenle 332.2137 nihai değeri,

Analitik bir yaklaşım can sıkıcı olabilir ve karmaşıklıkları düşünmedim ama işte düşünmek isteyebileceğiniz bir yaklaşım. Eğer 50 çaldıktan sonra boş hücrelerinin beklenen sayısı ilgilenen olduğundan siz "bir hücrede pirelerin No" yerine pire konumu üzerinde (Bkz Glen_b en bir Markov zinciri tanımlamak için gerekmez cevabı hangi modelleri pozisyonu markov zinciri olarak bir pire. Andy'nin bu cevaba yaptığı yorumlarda belirtildiği gibi, bu yaklaşım istediğinizi elde edemeyebilir.)

Özellikle:

$n_{ij}(t)$$i$$j$

Daha sonra markov zinciri aşağıdaki durumla başlar:

$n_{ij}(0) =1$$i$$j$

Pireler dört bitişik hücreden birine hareket ettiğinden, bir hücrenin durumu hedef hücrede kaç pire olduğuna ve bitişik dört hücrede kaç pire bulunduğuna ve bu hücreye hareket etme olasılığına bağlı olarak değişir. Bu gözlemi kullanarak, her hücrenin durum geçiş olasılıklarını o hücrenin ve bitişik hücrelerin durumunun bir fonksiyonu olarak yazabilirsiniz.

İsterseniz cevabı daha da genişletebilirim, ancak bu markov zincirlerine temel bir giriş ile birlikte başlamanız gerekir.

sayısal rotaya gidecekseniz, basit bir gözlem: sorun kırmızı-siyah pariteye tabi görünüyor (kırmızı bir kare üzerindeki bir pire her zaman siyah bir kareye gider ve tam tersi). Bu, sorun boyutunuzu yarıya indirmenize yardımcı olabilir (bir kerede iki hamleyi düşünün ve sadece kırmızı karelerdeki pire bakın, diyelim.)

Ayrık zamanlı Markov zincirleri hakkındaki bazı bilgilerin yararlı olabileceğinden şüpheleniyorum .