Doğal kütük değişikliklerinin neden yüzde değişim olduğu? Bunu yapan günlüklerle ilgili nedir?

43

Birisi kütüklerin özelliklerinin bunu nasıl yaptığını açıklayabilir, böylece katsayıların yüzde değişim olarak yorumlandığı kütük doğrusal regresyonları yapabilirsin?

regression logarithm mathematical-statistics

— thewhitetie
kaynak

9

l o g (y_{t}) - l o g (y_{t - 1}) = l o g (y_{t} / y_{t - 1})

$log(y_t) -log(y_{t-1})=log(y_t/y_{t-1})$ , ve

y_{t} / y_{t - 1}

$y_t/y_{t-1}$ 1 artı yüzde değişimi göstermektedir.

Denklemin X1'e göre farklılaştırılması Bence, seri ifadeleri dikkate almaktansa soruyu daha iyi cevaplamak için bizi yoluna sokacağımızı düşünüyorum.

— Charles,

45

İçin $x_2$ ve $x_1$ birbirine yakın, yüzde değişimi $\frac{x_2-x_1}{x_1}$ log farkı $\log x_2 - \log x_1$ yaklaşır.

Yüzde değişim neden kütle farkına yaklaşıyor?

Analizin bir fikri, bir çizgi ile pürüzsüz bir işlevi yaklaşık olarak hesaplayabilmenizdir. Doğrusal yaklaşım sadece Taylor Serisinin ilk iki terimidir . Birinci dereceden Taylor Genişleme $\log(x)$ etrafında $x=1$ ile verilir:

\log (x) \approx \log (1) + \frac{d}{d x} {\log (x) |}_{x = 1} (x - 1)

$\log(x) \approx \log(1) + \frac{d}{dx} \left. \log (x) \right|_{x=1} \left( x - 1 \right)$ Sağ taraf

basittir

0 + \frac{1}{1} (x - 1)

$0 + \frac{1}{1}\left( x - 1\right)$ dolayısıyla:

\log (x) \approx x - 1

$\log(x) \approx x-1$

Öyleyse 1 mahallesindeki $x$ için , $\log(x)$ $y = x - 1$ çizgisiyle yaklaşık değerlendirebiliriz. Aşağıda $y = \log(x)$ ve $y = x - 1$ grafiğidir .

Örnek: $\log(1.02) = .0198 \approx 1.02 - 1$ .

Şimdi iki değişken dikkate $x_2$ ve $x_1$ şekildedir $\frac{x_2}{x_1} \approx 1$ . O zaman log farkı yaklaşık yüzdedeğişimdir. $\frac{x_2}{x_1} - 1 = \frac{x_2 - x_1}{x_1}$ :

\log x_{2} - \log x_{1} = \log (\frac{x_{2}}{x_{1}}) \approx \frac{x_{2}}{x_{1}} - 1

$\log x_2 - \log x_1 = \log\left( \frac{x_2}{x_1} \right) \approx \frac{x_2}{x_1} - 1$

Yüzde değişim, kütle farkının doğrusal bir tahminidir!

Neden günlük farklılıkları?

Çoğu zaman yüzde değişiklikleri birleştirmeyi düşündüğünüz zaman, matematiksel olarak temizleyen kavram, günlük farkları açısından düşünmektir. Terimleri tekrar tekrar çarptığınızda, günlüklerde çalışmak ve bunun yerine terimleri eklemek genellikle daha kolaydır.

Diyelim ki şu anki zenginliklerimiz $T$ tarafından verilir:

W_{T} = \prod_{t = 1}^{T} (1 + R_{t})

$W_T = \prod_{t=1}^T (1 + R_t)$ O zaman yazmak daha uygun olabilir:

\log W_{T} = \sum_{t = 1}^{T} r_{t}

$\log W_T = \sum_{t=1}^T r_t$

r_{t} = \log (1 + R_{t}) = \log W_{t} - \log W_{t - 1}

$r_t = \log (1 + R_t) = \log W_t - \log W_{t-1}$ .

Yüzde değişiklikler nerede ve günlük farkı aynı DEĞİLDİR?

Yüzde büyük değişiklikler için, günlük farkı yüzde değişim ile aynı değildir, çünkü $y = \log(x)$ eğrisine $y = x - 1$ çizgisiyle yaklaşılması daha da kötüleşir ve $x=1$ daha da kötüleşir . Örneğin:

\log (1.6) - \log (1) = .47 \neq 1.6 - 1

$\log\left(1.6 \right) - \log(1) = .47 \neq 1.6 - 1$

Bu durumda log farkı nedir?

Bunu düşünmenin bir yolu .47 kütüğündeki bir farkın, 47 bileşiğin 47 farklı kütle farkına eşdeğer olmasıdır, bu da yaklaşık% 47'si bir araya geldiğinde değişiklik gösterir.

\begin{aligned} \log (1.6) - \log (1) & = 47 (.01) \\ \approx 47 (\log (1.01)) \end{aligned}

$\begin{align*} \log(1.6) - \log(1) &= 47 \left( .01 \right) \\ & \approx 47 \left( \log(1.01) \right) \end{align*}$

Sonra almak için her iki tarafı da exponentiate:

1.6 \approx {1.01}^{47}

$1.6 \approx 1.01 ^{47}$

0,47'lik bir log farkı yaklaşık 47 farklı% 1 artışla eşdeğerdir, bileşik veya daha da iyisi, 470 farklı% 1 tüm bileşik vb.

Buradaki cevapların birçoğu bu fikri daha açık hale getirmektedir.

— Matthew Gunn
kaynak

+1, bu cevabın planlı devamı ümitlerinde yaklaşıklığın bozulduğu koşulları tartışacaktır.

— whuber

4

+1. Küçük bir nokta eklemek için, 1.6 ila 1,% 37.5'lik bir azalma, 1 ila 1.6,% 60'lık bir artıştır, log farkı 0.47, değişim yönünden bağımsızdır ve daima 0.375 ile 0.6 arasındadır. Değişimin yönünü bilmediğimiz veya umursamadığımız zaman, günlük farkı yüzde değişim büyük olduğunda bile yüzde iki değişimin ortalamalarını almanın bir alternatifi olabilir.

— Paul

9

İşte aptallar için bir sürüm ...

$Y= \beta_o+\beta_1X+\varepsilon$ $1\text{-unit}$ $X=x_1$ $\hat \beta_1$ $Y$ $Y=y_1$ $\hat\beta_1(x_1+1) -\hat\beta_1x_1= \hat\beta_1$

$\ln(Y)= \delta_o+\delta_1X+\varepsilon$ $\hat\delta_1$

\begin{matrix} (*) & \ln (y_{2}) - \ln (y_{1}) = \ln (\frac{y_{2}}{y_{1}}) = {\hat{δ}}_{1} (x_{1} + 1) - {\hat{δ}}_{1} x_{1} = {\hat{δ}}_{1} \end{matrix}

$\ln(y_2)-\ln(y_1)=\ln\left(\frac{y_2}{y_1}\right)=\hat\delta_1(x_1+1) -\hat\delta_1x_1= \hat\delta_1 \tag{*}$

$(*)$

\begin{matrix} (**) & \exp ({\hat{δ}}_{1}) = \frac{y_{2}}{y_{1}} = \frac{y_{1} + y_{2} - y_{1}}{y_{1}} = 1 + \frac{y_{2} - y_{1}}{y_{1}} \end{matrix}

$\exp(\hat\delta_1)=\frac{y_2}{y_1}=\frac{\color{blue}{y_1}+y_2\color{blue}{-y_1}}{y_1}= 1+\frac{y_2-y_1}{y_1}\tag{**}$

$\frac{y_2-y_1}{y_1}$ $(**)$ $\small 100\,\frac{y_2-y_1}{y_1}=100(\exp(\hat\delta_1)-1)$

$\exp(\hat\delta_1)-1=\hat\delta_1$ $\hat\delta_1$ $e^x$

e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$

veya ile $\delta_1$ $x$

\exp ({\hat{δ}}_{1}) = 1 + {\hat{δ}}_{1}

$\exp(\hat\delta_1)=1+\hat\delta_1$

$\hat\delta_1=\exp(\hat\delta_1)-1$

— Antoni Parellada
kaynak

cevabınız oldukça açık: log-farkını yüzde değişim olarak yorumlayabilmek için küçük katsayılara ihtiyacımız var, fakat @aksakal'ın cevabı sadece küçük değişikliklere ihtiyacımız olduğunu gösteriyor (yani lim Δx --> 0). İkisinin nasıl eşdeğer olduğunu açıklayabilir misiniz?

— towi_parallelism

7

\ln y = A + B x

$\ln y = A+B x$

\frac{d}{d x} \ln y \equiv \frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = B

$\frac{d}{dx}\ln y\equiv\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=B$

Şimdi eğim olduğunu görebilirsiniz. $b$ $y$

\frac{d y}{y} = B d x

$\frac{dy}{y}=B dx$

Günlük dönüşümü olmasaydı , mutlak değişim eğimine sahip olursunuz. $y$

d y = B d x

$dy=B dx$

$dx,dy$ $\Delta x,\Delta y$

— Aksakal
kaynak

4

$r$ $n$ yıl içinde dönemler. Bir yılın sonunda, bir birimin ilk yatırımının değeri şudur:

I (n) = (1 + \frac{r}{n})^{n} .

$I(n) = \Big( 1+\frac{r}{n} \Big)^n.$

$n \rightarrow \infty$ , aşağıdakileri veren "sürekli bileşik faiz" elde ederiz:

I (\infty) = lim_{n \to \infty} (1 + \frac{r}{n})^{n} = \exp (r) .

$I(\infty) = \lim_{n \rightarrow \infty} \Big( 1+\frac{r}{n} \Big)^n = \exp(r).$

$r = \ln I(\infty)$

— Monica'yı eski durumuna getir
kaynak