Tek değişkenli üstel Hawkes işlemi için MLE'yi bulma

Tek değişkenli üstel Hawkes süreci, olay varış oranına sahip, kendi kendini heyecanlandıran bir süreçtir:

$\lambda(t) = \mu + \sum\limits_{t_i<t}{\alpha e^{-\beta(t-t_i)}}$

burada etkinliğin varış .$t_1,..t_n$

Günlük olabilirlik işlevi

$- t_n \mu + \frac{\alpha}{\beta} \sum{( e^{-\beta(t_n-t_i)}-1 )} + \sum\limits_{i<j}{\ln(\mu+\alpha e^{-\beta(t_j-t_i)})}$

yinelemeli olarak hesaplanabilir:

$- t_n \mu + \frac{\alpha}{\beta} \sum{( e^{-\beta(t_n-t_i)}-1 )} + \sum{\ln(\mu+\alpha R(i))}$

$R(i) = e^{-\beta(t_i-t_{i-1})} (1+R(i-1))$

$R(1) = 0$

MLE'yi bulmak için hangi sayısal yöntemleri kullanabilirim? Uygulamanın en basit pratik yöntemi nedir?

Nelder-Mead simpleks algoritması iyi çalışıyor gibi görünüyor. Java'da https://commons.apache.org/math/ adresindeki Apache Commons Math kütüphanesi tarafından uygulandı . Ayrıca , Çok Değişkenli Yüksek Frekanslı Düzensiz Aralıklı Veriler için Nokta İşlem Modelleri'nde Hawkes süreçleri hakkında bir makale yazdım .

felix, exp / log dönüşümlerini kullanarak parametrelerin pozitifliğini sağlar. Küçük alfa şeye gelince, arxiv.org'da "neredeyse kararsız şahin süreçleri için limit teoremleri" adlı bir makale arayın

Nlopt kütüphanesini kullanarak bu sorunu çözdüm . Çok hızlı bir şekilde yakınsama yöntemlerini buldum.

Ayrıca basit bir maksimizasyon da yapabilirsiniz. R cinsinden:

neg.loglik <- function(params, data, opt=TRUE) {
  mu <- params[1]
  alpha <- params[2]
  beta <- params[3]
  t <- sort(data)
  r <- rep(0,length(t))
  for(i in 2:length(t)) {
    r[i] <- exp(-beta*(t[i]-t[i-1]))*(1+r[i-1])
  }
  loglik <- -tail(t,1)*mu
  loglik <- loglik+alpha/beta*sum(exp(-beta*(tail(t,1)-t))-1)
  loglik <- loglik+sum(log(mu+alpha*r))
  if(!opt) {
    return(list(negloglik=-loglik, mu=mu, alpha=alpha, beta=beta, t=t,
                r=r))
  }
  else {
    return(-loglik)
  }
}

# insert your values for (mu, alpha, beta) in par
# insert your times for data
opt <- optim(par=c(1,2,3), fn=neg.loglik, data=data)