Sıralı listelere göre dağılımlar

10

Diyelim ki sipariş edilen bir ürün listemiz var

[a, b, c, ... x, y, z, ...]

Yukarıdaki listede bazı parametre alfa tarafından yönetilen destekli bir dağıtım ailesi arıyorum:

Alpha = 0 için, ilk öğeye olasılık 1'i , yukarıdakine ve geri kalanına 0'ı atar . Yani, bu listeden örnek alırsak, değiştirme ile her zaman alırız a.
Alfa arttıkça, listenin geri kalanına, üstel bozulmayı takiben listenin sırasına saygı göstererek daha yüksek ve daha yüksek olasılıklar atarız.
Alpha = 1 olduğunda, listedeki tüm öğelere eşit olasılık atarız, bu nedenle listeden örnekleme sırasını görmezden gelmeye benzer.

Bu geometrik dağılıma çok benzer, ancak bazı önemli farklılıklar vardır:

Geometrik dağılım dağılımı tüm doğal sayılar üzerinden tanımlanır. Yukarıdaki durumumda, listenin boyutu sabittir.
Alfa = 0 için geometrik dağılım tanımlanmamıştır.

distributions sampling discrete-data

— Amelio Vazquez-Reina
kaynak

1

Kesik geometrik dağılımların bir ailesini tarif ediyor gibi görünüyorsunuz. Ancak, nitel olarak tanımınız gibi davranan sonsuz sayıda aile vardır . Daha da önemlisi, böyle bir aileyi ne için kullanmak istediğinizi açıklamak olacaktır.

— whuber

Teşekkürler @whuber Evet, bu tanıma uyan sonsuz sayıda dağıtım olduğunu anlıyorum. Akla gelen özel olanlar var mı? Şu anda (puanları temsil eden) bu listenin ilk öğesini seçen bir sistem var, ama bu seçimi rastgele (ve bu rasgeleleştirme parametreleştirmek) istiyorum. Alfa dayalı "çürüme" belirli bir tür aramıyorum. Alfa = 0 herhangi bir randomizasyonu temsil etmediği, yani birinci elemanı seçtiği sürece, 1 "herhangi bir elemanı seç" i temsil eder ve 0 ile 1 arasındaki alfalar bu iki alfa arasında "bir şey" temsil eder, yeterince iyi olur.

— Amelio Vazquez-Reina

11

En varsayalım liste elemanının sıralaması , bir değere sahiptir olan bir listesi için elemanlarının (bağların rasgele kırılmış olabilir). O zaman seçme olasılığını şöyle tanımlayabiliriz : $r_i$ $i$ $\{0, 1, \ldots, n-1\}$ $n$ $i$

p_{i} = \frac{α^{r_{i}}}{\sum_{k = 1}^{n} α^{r_{k}}}

$p_i = \frac{\alpha^{r_i}}{\sum_{k=1}^n \alpha^{r_k}}$

Bu temelde sadece uygun şekilde normalize kesilmiş geometrik dağılım olduğunu ve ayrıca edilir ilişkin Softmax fonksiyonu . özel durumunda, kuralını kullanın . Paydanın her zaman basit bir kapalı form ifadesinde yazılabileceğini unutmayın. İçin o değeri alır ve için o değerini alır . $\alpha=0$ $0^0 = 1$ $\alpha < 1$ $\frac{1-\alpha^n}{1-\alpha}$ $\alpha=1$ $n$

İle , sadece atar her elemana olasılığını eşit olduğu açıktır. Şöyle , bu tüm birinci elemana olasılık kütle vermek için yöntemler. $\alpha=1$ $\alpha\rightarrow 0$

10 öğeli bir listede, istediğiniz kabaca üstel düşüş ile açıktır : $\alpha=0.5$

p_{0} \approx 0.5005 p_{1} \approx 0.2502 p_{2} \approx 0.1251 p_{3} \approx 0.0626 p_{4} \approx 0.0313 p_{5} \approx 0.0156 p_{6} \approx 0.0078 p_{7} \approx 0.0039 p_{8} \approx 0.0020 p_{9} \approx 0.0010

$p_0 \approx 0.5005 \\ p_1 \approx 0.2502 \\ p_2 \approx 0.1251 \\ p_3 \approx 0.0626 \\ p_4 \approx 0.0313 \\ p_5 \approx 0.0156 \\ p_6 \approx 0.0078 \\ p_7 \approx 0.0039 \\ p_8 \approx 0.0020 \\ p_9 \approx 0.0010$

Aşağıda, ilk elemanın seçilme olasılığının , uzunluk 10'luk bir liste kullanılarak göre nasıl değiştiği gösterilmiştir . $\alpha$

— josliber
kaynak

Güzel. Bu, olmayı umabileceğimden çok daha akıllı.

— Matthew Drury

@Matthew Bunlar daha önce bahsettiğim kesik geometrik dağılımlar.

— whuber

4

İlk ilkelerden bir örnek oluşturmaya çalışacağım.

Yapı taşlarımız olarak üç dağıtım yapalım:

P, olasılıkları listenin ilk elemanına, diğerlerine sıfır atama dağılımıdır.
E, listenin ilk öğesine diğerine , vb. Atama olasılığıdır . Liste sonlu olduğu için, bunlar eşit olmayacaktır , ancak bir olasılık dağılımı elde etmek için normalleştirebiliriz. $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{4}$ $1$
U, liste üzerindeki tekdüze dağılımdır.

Şimdi bu dağılımların tek parametreli pozitif dışbükey kombinasyonlarını almak istiyoruz

α (t) P + β (t) E + γ (t) U

$\alpha(t) P + \beta(t) E + \gamma(t) U$

burada tüm için , ve . $\alpha(t) + \beta(t) + \gamma(t) = 1$ $t \in [0, 1]$ $\alpha(0) = 1$ $\gamma(1) = 1$

Geometrik olarak, 'nin eşkenar üçgende arasındaki bir eğriyi izlemesini istiyoruz ilk köşeden başlar ve biter ve sonuncusu. Ayrıca, dağıtımın orta zamanlarda "üstel" görünmesini istediğimizden, eğrinin saatlerinde üçgenin iç kısmını işgal etmesini isteriz . $(\alpha(t), \beta(t), \gamma(t))$ $(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)$ $t \in (0, 1)$

İşte eğri için bir seçenek:

(1 - t (1 - t)) (1 - t, 0, t) + t (1 - t) (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})

$(1 - t(1-t)) \left(1 - t, 0, t \right) + t(1 - t) \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right)$

Bu çalışmayı istediğimiz özelliklerden geriye doğru inşa ettim. Eğri başlangıç ve bitiş değerleri arasında üçgenin kenarı boyunca uzanır. Formülün geri kalanı bu kenar eğrisinin dışbükey toplamı ve tek nokta eğri kenar boyunca zamanlarında iç kısma itilir . $(1-t, 0, t)$ $\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right)$ $t \in (0, 1)$

— Matthew Drury
kaynak