Birisi sıfır eğriliğine sahip fakat simetrik olmayan bir tekdüze dağılım örneğini sunabilir mi?

Mayıs 2010'da Vikipedi kullanıcısı Mcorazao, çarpıklık makalesine "Sıfır bir değer, değerlerin ortalamanın her iki tarafına nispeten eşit şekilde dağıldığını, genellikle zorunlu olarak simetrik bir dağılım göstermediğini" belirten bir cümle ekledi . Ancak, wiki sayfasında bu kuralı ihlal eden gerçek bir dağıtım örneği yoktur. Googling "sıfır eğriltme ile asimetrik dağılımlar örneği" de en azından ilk 20 sonuçta gerçek örnekler vermedi.

Eğriltmenin hesaplandığı tanımı kullanarak $\operatorname{E}\Big[\big(\tfrac{X-\mu}{\sigma}\big)^{\!3}\, \Big]$ veR formülü

sum((x-mean(x))^3)/(length(x) * sd(x)^3)

Eğriliği düşürmek için küçük, keyfi bir dağılım oluşturabilirim. Örneğin, dağıtım

x = c(1, 3.122, 5, 4, 1.1) 

çarpıklığını verir . Ancak bu küçük bir örnek ve ayrıca simetriden sapma büyük değil. Peki, yüksek derecede asimetrik olan ancak hala sıfıra yakın bir eğriliği bulunan bir tepe ile daha büyük bir dağılım oluşturmak mümkün mü?$-5.64947\cdot10^{-5}$

Ayrık dağılımları göz önünde bulundurun. Desteklenir bir değerleri X 1 , x 2 , ... , x k negatif olmayan olasılıkları ile belirlenir p 1 , s 2 , ... , p k koşullarına tabi (a) bunlar 1 ve toplamı (b) eğiklik katsayısı 0'a eşittir (bu, üçüncü merkezi momentin sıfır olması ile eşdeğerdir). Bu da k - 2 serbestlik derecesi bırakır (denklem çözme anlamında istatistiksel olanı değil!). Unimodal olan çözümler bulmayı umuyoruz.$k$$x_1, x_2,\ldots, x_k$$p_1, p_2,\ldots, p_k$$k-2$

Örneklerin aranmasını kolaylaştırmak için, küçük bir simetrik vektör üzerinde, 0 , sıfır ortalama ve sıfır eğiklikte benzersiz bir modla desteklenen çözümler aradım. . Bu tür bir çözüm ( s 1 , ... , p 7 ) = ( 1396 , 3286 , 9586 , 47386 , 8781 , 3930 $\mathbf{x}=(-3,-2,-1,0,1,2,3)$$0$ .$(p_1, \ldots, p_7) = (1396, 3286, 9586, 47386, 8781, 3930, 1235)/75600$

Asimetrik olduğunu görebilirsiniz.

İşte (asimetrik olan) ve p = ( 1 , 18 , 72 , 13 , 4 ) / 108 ile daha açık bir şekilde asimetrik bir çözüm :$\mathbf{x} = (-3,-1,0,1,2)$$p = (1,18, 72, 13, 4)/108$

Şimdi neler olup bittiği açık: ortalama eşit olduğu için , negatif değerler ( - 3 ) 3 = - 27 ve 18 × ( - 1 ) 3 = - 18'i üçüncü ana katkı yaparken, pozitif değerler 4 × 2 3 = 32 ve 13 × 1 3 = 13 , tam olarak negatif katkıları dengeliyor. Yaklaşık bir simetrik dağılımı alabilir 0 gibi, x$0$$(-3)^3=-27$$18 \times (-1)^3=-18$$4\times 2^3 = 32$$13 \times 1^3 = 13$$0$ ile p = ( 1 , 4 , 1 ) / 6 , ve küçük bir kitle shift + 1 için + 2 den küçük bir kütle + 1 için aşağı - 1 , kütle ve hafif bir miktarda aşağı - 3 , ortalamayı 0’da ve eğriliği$\mathbf{x}=(-1,0,1)$$\mathbf{p}=(1,4,1)/6$$+1$$+2$$+1$$-1$$-3$$0$$0$Asimetri oluştururken de. Aynı yaklaşım, asimetrik hale getirirken sürekli bir dağılımın sıfır ortalama ve sıfır eğriliğini korumaya çalışacaktır; eğer kitlesel kaymaya karşı çok saldırgan olmazsak, tek parça kalmaya devam edecek.

Düzenleme: Sürekli Dağılımlar

Sorun devam edeceğinden, sürekli dağılımlarla açık bir örnek verelim. Peter Flom'un iyi bir fikri vardı: normallerin karışımlarına bakın. İki normalin karışımı yapmaz: eğikliği kaybolduğunda simetrik olacaktır. Bir sonraki en basit durum, üç normalin karışımıdır.

Uygun bir konum ve ölçek seçiminden sonra, üç normalin karışımları altı gerçek parametreye bağlıdır ve bu nedenle asimetrik, sıfır-eğik bir çözüm üretmek için fazlasıyla esnekliğe sahip olmalıdır. Bazılarını bulmak için, normal karışımların çarpıklıklarını nasıl hesaplayacağımızı bilmemiz gerekir. Bunların arasında, tek olanları arayacağız (hiçbiri mümkün değildir).

Şimdi, genel olarak, zaman, standart normal dağılımın (merkezi olmayan) an sıfır r tek ve aksi eşittir 2 r / 2 Γ ( 1 - $r^\text{th}$$r$ . Biz bir standart sapması için standart normal dağılımı yeniden ölçeklendirmek zamanσ,r,incidakika ile çarpılırσr. Biz herhangi dağılımı kaydırmaya zamanu, yenirincianı ve dahil anları yukarı cinsinden ifade edilebilirr. Dağılımların karışımının momenti (yani, bunların ağırlıklı bir ortalaması), bireysel anların aynı ağırlıklı ortalamasıdır. Son olarak, çarpıklık, üçüncü merkezi moment sıfır olduğunda tam olarak sıfırdır ve bu, ilk üç an açısından kolayca hesaplanır.$2^{r/2}\Gamma\left(\frac{1-r}{2}\right)/\sqrt{\pi}$$\sigma$$r^\text{th}$$\sigma^r$$\mu$$r^\text{th}$$r$

Bu bize soruna cebirsel bir saldırı verir. Buldum bir çözüm parametreleri ile üç normaller eşit bir karışımı e eşit ( 0 , 1 ) , ( 1 / 2 , 1 ) ve ( 0 , $(\mu, \sigma)$$(0,1)$$(1/2,1)$. Onun ortalama eşittir(0+1/2+0)/3=1/6. Bu görüntü pdf'i mavi renkte gösterir ve dağılımınpdf'si ortalamanınkırmızıya çarptığını gösterir. Farklı olduklarının her ikisinin de asimetrik olduğunu gösteriyor. (Modu yaklaşık0,0519216ortalamasına eşit,1/6). Her ikisi de yapı sıfır eğimlidir.$(0, \sqrt{127/18}) \approx (0, 2.65623)$$(0 + 1/2 + 0)/3 = 1/6$$0.0519216$$1/6$

Grafikler bunların tekbiçimli olduğunu gösteriyor. (Yerel maksimumları bulmak için Matematik'i kullanarak kontrol edebilirsiniz.)

Burada https://www.qualitydigest.com/inside/quality-insider-article/problems-skewness-and-kurtosis-part-one.html# adresinde bulduğum bir tane var : R'de güzel ve çoğaltıyorum: ters Burr veya ve c = 18.1484 şekil parametreli Dagum dağılımı :$k=0.0629$$c=18.1484$

Ortalama 0,5387, standart sapma 0,2907, çarpıklık 0,0000 ve kurtoz 2,0000'dür. Kaynak ayrıca buna "fil dağıtımı" diyor:

R'deki üreme ile yaratıldı

library(actuar)
library(knotR)

# a nonsymmetric distribution with zero skewness
# see https://www.qualitydigest.com/inside/quality-insider-article/problems-skewness-and-kurtosis-part-one.html#

c <- 18.1484
k <- 0.0629

x <- seq(0,1.5,by=.0001)

elephant.density <- dinvburr(x, k, c)
plot(x,elephant.density, type="l")
polygon(c(min(x),x),c(min(elephant.density),elephant.density), col="grey")
points(0.8,0.8, pch=19, cex=2)

# "ears" created via https://www.desmos.com/calculator/cahqdxeshd
ear.x <- c(0.686, 0.501, 0.42, 0.68)
ear.y <- c(0.698, 0.315, 1.095, 0.983)

myseg(bezier(cbind(ear.x, ear.y)), type="l")

EX <- gamma(k+1/c)*gamma(1-1/c)/gamma(k) # see p6 of https://wwz.unibas.ch/uploads/tx_x4epublication/23_07.pdf
EX2 <- gamma(k+2/c)*gamma(1-2/c)/gamma(k)
EX3 <- gamma(k+3/c)*gamma(1-3/c)/gamma(k)
(skewness <- (EX3 - 3*EX*(EX2-EX^2)-EX^3)/(EX2-EX^2)^(3/2)) # zero to three digits: 0.0003756196

Bu çıkışın gösterdiği gibi, bu parametre değerleri için çarpıklık sıfır ila dört hane değil. İşte ve c için küçük bir eniyileyici :$k$$c$

   # optimize skewness a bit further
    skewval <- 1

while (skewval > 10^(-10)){
  optskew.k <- uniroot(skewness.fun, lower = k*.95, upper = k*1.1, tol=skewval^2, c=c)
  skewval <- optskew.k$f.root
  k <- optskew.k$root

  optskew.c <- uniroot(skewness.fun, lower = c*.95, upper = c*1.1, tol=skewval^2, k=k)
  skewval <- optskew.c$f.root
  c <- optskew.c$root
}

verimli

> print(c)
[1] 18.89306

> print(k)
[1] 0.05975542

> print(skewval)
[1] -1.131464e-15

0'dan moda modüle doğrusal olarak yükselen ve sonra modun sağında üssel olan gerçek modun pozitif yarısında bir dağılım düşünün.

Buna üçgen-üstel dağılım denebilir (genellikle biraz köpekbalığı yüzgeci gibi görünmesine rağmen).

$\theta$$\lambda$

$\lambda\theta$$\lambda\theta$$\approx 6.15$

$^{[1]}$$^{[2]}$

Sıfır çarpıklık ve sıfır aşırı kurtosis ile normal olmayan dağılımlar iplik ? küçük bir ayrık örnek ve bir başka sürekli tek modalik örnek de dahil olmak üzere bazı asimetrik örneklere sahiptir:

Kesikli modalit olmayan dağılımlar - veya eşdeğerde, numuneler - sıfır eğriltme ile, büyük ya da küçük boyutta, yapımı oldukça kolaydır.

Örnek olarak ya da (ham frekansları 3000'e bölerek) pmf ('x' değerleri alınan değerlerdir, 'n' örnekte bu değerin meydana gelme sayısıdır) örnek olarak ele alabileceğiniz bir örnek ):

x:  -2   -1    0    1    2    3    4    5    6    7    8    9   10
n: 496  498  562 1434    2    1    1    1    1    1    1    1    1

Bu örnek 3 nokta dağılımlarından oluşur:

x:          -2              1                  c
n:   c(c-1)(c+1)/6     c(c-1)(c+1)/3 - c       1

$c$$c$$\sum_i n_ix_i =0$$\sum_i n_ix_i^3 =0$$c$

İnsanın yapabileceği bu tür diğer "atomların" her yolu vardır, ancak bu örnek sadece bu türden kullanır. Bunun gibi bazı atomların kombinasyonuna, kalan delikleri doldurmak ve ortalama ve üçüncü momentin yapısını tahrip etmeden eşbiçimliliği garanti etmek için simetrik olarak yerleştirilmiş birkaç değer eklenir.

$[1]$

$[2]$

Emin. Bunu dene:

skew= function (x, na.rm = FALSE) 
 {
    if (na.rm)    x <- x[!is.na(x)]             #remove missing values
    sum((x - mean(x))^3)/(length(x) * sd(x)^3)  #calculate skew   
 }

set.seed(12929883) 
x = c(rnorm(100, 1, .1), rnorm(100, 3.122, .1), rnorm(100,5, .1), rnorm(100, 4, .1), rnorm(100,1.1, .1))

 skew(x)
 plot(density(x))

(Zor işleri zaten yaptın!)

$Y$$Z$$\mu$

$Y$$Z$$\mu$$\mu$

Aşağıdaki ayrık dağılım asimetriktir ve sıfır eğikliğe sahiptir: Prob (-4) = 1/3, Prob (1) = 1/2, Prob (5) = 1/6. Doric ve ark., Qual Quant (2009) 43: 481-493; DOI 10.1007 / s11135-007-9128-9