İki standart normal rastgele değişken her zaman bağımsız mıdır?

16

Ortalama ve varyans sırasıyla 0 ve 1 olarak sabitlendiğinden standart normal dağılımın benzersiz olduğunu öğrendim. Bu nedenle, herhangi iki standart rastgele değişkenin bağımsız olması gerekip gerekmediğini merak ediyorum.

normal-distribution independence

— C.Hawk
kaynak

12

Neden ..? Bağımsızlığın dağıtımla hiçbir ilgisi yoktur.

— Tim

27

X

$X$ ve

düşünün

X

$X$ . Bağımsız değiller.

— djechlin

Bunu pratik açıdan faydalı bulabilirsiniz. stats.stackexchange.com/questions/15011/…

— JustGettinBaşlangıç tarihi

Verilen güzel örneklere ek olarak, genellikle N (0,!) Marjinal dağılımları ile iki değişkenli bir normal dağılım düşünün. -1 ile 1 arasında herhangi bir korelasyon olması mümkündür. Aşağıdaki örneklerin hepsi özel durumlardır. Bir yana, iki standart normal değişkenin bağımlı olması, ancak iki değişkenli dağılımının olmaması mümkündür.

— Michael R. Chernick

1

Batman'ın önerdiğim ile aynı olabilecek genel bir sonuç verdiğini fark ettim. Y = -X vakası -1 korelasyonuna sahiptir ve bu nedenle iki değişkenli normalin dejenere bir şeklidir. Burada (bu yazıda) iki değişkenli normal olmayan bir vakayı gösteren bir örnek görmedim.

— Michael R. Chernick

42

Cevap hayır. Örneğin, standart bir rastgele değişkense, aynı istatistikleri takip eder, ancak ve açıkça bağımlıdır. $X$ $Y=-X$ $X$ $Y$

— gebertmek
kaynak

26

Hayır, herhangi iki standart gaussianın bağımsız olduğuna inanmak için hiçbir neden yoktur.

İşte basit bir matematiksel yapı. Varsayalım ki ve olan iki bağımsız standart normal değişkenler. Sonra çift $X$ $Y$

X, \frac{X + Y}{\sqrt{2}}

$X, \frac{X + Y}{\sqrt{2}}$

iki bağımlı standart normal değişkendir. Dolayısıyla, iki bağımsız normal değişken olduğu sürece , iki bağımlı değişken olmalıdır .

İkinci değişken normaldir, çünkü bağımsız normal değişkenlerin herhangi bir doğrusal kombinasyonu tekrar normaldir. , varyansıeşit yapmak için vardır. $\sqrt{2}$ $1$

V (\frac{X + Y}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{{\sqrt{2}}^{2}} (V (X) + V (Y)) = 1

$V \left(\frac{X + Y}{\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}^2} (V(X) + V(Y)) = 1$

Sezgisel olarak, bunlar bağımlıdır, çünkü değerini bilmek size ikinci değişkenin değerini tahmin etmek için kullanabileceğiniz ek bilgiler verir. Örneğin, olduğunu biliyorsanız , ikinci değişkenin koşullu beklentisi $X$ $X = x$

E [\frac{X + Y}{\sqrt{2}} ∣ X = x] = \frac{x}{\sqrt{2}}

$E \left[\frac{X + Y}{\sqrt{2}} \mid X = x \right] = \frac{x}{\sqrt{2}}$

— Matthew Drury
kaynak

7

İşte oldukça geniş bir cevap:

$X,Y$ $a,b$ $a X + bY$ $X$ $Y$ $E[(X-E[X])(Y-E[Y])]=0$

$\Sigma=\begin{bmatrix} 1 & p \\ p & 1 \end{bmatrix}$ $(\lambda-1)^2 - p^2$ $\lambda$ $\Sigma= R R^T$ $U,V$ $R \begin{bmatrix} U \\ V \end{bmatrix}$ standart normal bileşenlere sahiptir, ancak bileşenler yalnızca ve yalnızca $p=0$ .

— Batman
kaynak

5

A non-bivariate normal example (as Michael Chernick suggests in the comments):

Let $f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{\pi} e^{-\frac{x^2+y^2}{2}} & xy\geq 0 \\ 0 & o.w. \end{cases}$ .

This is not a bivariate normal distribution, but a simple integral shows that both marginals are standard normal. They're obviously not independent since $f_{X,Y}(x,y) \neq f_X(x) f_Y(y)$ .

— Batman
kaynak