Poisson dağılımlarından veriler için lojistik regresyon

Bazı ayrımcı sınıflandırma yöntemlerinden, özellikle y'nin sınıf etiketi (0 veya 1) ve x'in veriler olduğu lojistik regresyondan bahseden bazı makine öğrenimi notlarından, şöyle söylenir:

Eğer $x|y = 0 \sim \mathrm{Poisson}(λ_0)$ ve $x|y = 1 \sim \mathrm{Poisson}(λ_1)$ , daha sonra $p(y|x)$ lojistik olacaktır.

Bu neden doğru?

$Y$ , verilen herhangi bir X değeri için iki olası değere sahiptir $X$. Varsayımlara göre,

$$\Pr(X=x|Y=0) = \exp(-\lambda_0) \frac{\lambda_0^x}{x!}$$

ve

$$\Pr(X=x|Y=1) = \exp(-\lambda_1) \frac{\lambda_1^x}{x!}.$$

Bu nedenle şansı (bu Bayes teoreminin önemsiz bir durumdur) şartına olan göreli ikinci olasılık, yani$Y=1$$X=x$

$$\Pr(Y=1|X=x) = \frac{\exp(-\lambda_1) \frac{\lambda_1^x}{x!}}{\exp(-\lambda_1) \frac{\lambda_1^x}{x!} + \exp(-\lambda_0) \frac{\lambda_0^x}{x!}}= \frac{1}{1 + \exp(\beta_0 + \beta_1 x)}$$

nerede

$$\beta_0 = \lambda_1 - \lambda_0$$

ve

$$\beta_1 = -\log(\lambda_1/\lambda_0).$$

Gerçekten de standart lojistik regresyon modeli budur.