Kümülatif dağılım işlevinin sürekli doğru olduğunu nasıl kanıtlayabilirim?

Ben kümülatif dağılım fonksiyonu benim olasılık derslerinde öğrendiğiniz rastgele değişkenin sağ süreklidir. Bunu kanıtlamak mümkün mü?$F$$X$

Dağıtım işlevinin doğru sürekliliğini kanıtlamak için , olasılık kurslarınızdan birinde muhtemelen kanıtladığınız üstündeki sürekliliği kullanmanız gerekir .$P$

Lemma. olay dizisi azalıyorsa, her için olması , , burada .$\{A_n\}_{n\geq 1}$$A_n\supset A_{n+1}$$n\geq 1$$P(A_n)\downarrow P(A)$$A=\cap_{n=1}^\infty A_n$

Lemma'yı kullanalım. Dağılım fonksiyonu bir noktada sürekli doğru ancak ve ancak gerçek sayılar her azalan sırası için ise şekilde Elimizdeki .$F$$a$$\{x_n\}_{n\geq 1}$$x_n\downarrow a$$F(x_n)\downarrow F(a)$

için olaylarını tanımlayın . olduğunu kanıtlayacağız$A_n=\{\omega : X(\omega)\leq x_n\}$$n\geq 1$

$$\bigcap_{n=1}^\infty A_n=\{\omega:X(\omega)\leq a\}\, .$$

Bir yönde, eğer her için , çünkü Elimizdeki .$X(\omega)\leq x_n$$n\geq 1$$x_n\downarrow a$$X(\omega)\leq a$

Diğer yönde, eğer yana, her biri için , elimizdeki her için, .$X(\omega)\leq a$$a\leq x_n$$n\geq 1$$X(\omega)\leq x_n$$n\geq 1$

Lemma kullanıldığında sonuç şu şekildedir:

$$F(x_n) = P\{X\leq x_n\} = P(A_n) \downarrow P\left( \cap_{n=1}^\infty A_n \right) = P\{X\leq a\} = F(a) \, .$$