Ters doğum günü sorunu: 1 milyon uzaylıdan hiçbir çift bir doğum gününü paylaşmaz; yıl boyu nedir?

günleri çok uzun olan bir gezegen varsayın . Bir odada bir partide 1 milyon uzaylı var ve hiç kimse doğum gününü paylaşmıyor. büyüklüğü hakkında ne çıkarılabilir ? $N$ $N$

(Bu daha kompakt soru, bu yanlış ifade edilen sorunun yerine geçer . )

probability birthday-paradox

— Paul Uszak
kaynak

Doğum günü problemi size en az bir eşleşme olasılığının belirtilen bir değerden büyük olduğu N değerini bildirir. P = 1/2 olduğunda, bunun n = 23 verdiği sezgi şaşırtıcıdır. Bu, her doğum gününün aynı tekdüze olasılığa sahip olduğunu varsayar (1/365). Tekdüzeliklik yalnızca n'yi küçültür. Şimdi sizin probleminizde N'nin 365'i değiştirdiği ve tekdüzelik varsayımının korunduğunu varsayıyorum.

— Michael R. Chernick

N <= 1,000,000 ise, en az 1 eşleşme olasılık = 1 ve dolayısıyla 0 eşleşme olasılık = 0 olur.

— Michael R. Chernick

N> 1,000,000 olduğunda, en az 1 eşleşme olasılığı <1 olasılığı vardır ve bu nedenle sıfır eşleşme olasılığı artmaya başlar.

— Michael R. Chernick

@Michael Lütfen açıklama ve diğer rastlantısal tartışma talepleri için yorum ayırın ve her seferinde sadece bir tane göndermeye çalışın: karakter sınırlamasının iyi bir nedeni var. Kendinizi birden fazla yorum gerektiren önemli bir şeyi tartışırken bulursanız, muhtemelen soruyu cevaplamaya çalışıyorsunuz, bu nedenle bir cevap da gönderebilirsiniz.

— whuber

Tüm doğum günlerinin eşit derecede olası ve doğum günlerinin bağımsız olduğunu varsayarsak, uzaylıların doğum gününü paylaşmama şansı $k+1$

p (k; N) = 1 (1 - \frac{1}{N}) (1 - \frac{2}{N}) \dots (1 - \frac{k}{N}) .

$p(k;N) = 1\left(1-\frac{1}{N}\right)\left(1-\frac{2}{N}\right)\cdots\left(1-\frac{k}{N}\right).$

Logaritması, çok daha küçük olması koşuluyla asimptotik olarak toplanabilir : $k$ $N$

\begin{matrix} (1) & \log (p (k; N)) = - \frac{k (k + 1)}{2 N} - \frac{k + 3 k^{2} + 2 k^{3}}{12 N^{2}} - O (k^{4} N^{- 3}) . \end{matrix}

$\log(p(k;N)) = -\frac{k(k+1)}{2N} - \frac{k + 3k^2 + 2k^3}{12N^2} - O(k^4 N^{-3}).\tag{1}$

Olmak emin olduğu az bir değerden daha , biz gerek daha büyük olduğu . Küçük sağlamak çok daha büyüktür biz yaklaşık olabilir nereden, kadar doğru . Bu, $100-100\alpha\%$ $N$ $N^{*}$ $(1)$ $\log(1-\alpha)$ $\alpha$ $N$ $k$ $(1)$ $-k^2/(2N)$

- \frac{k^{2}}{2 N} > \log (1 - α),

$-\frac{k^2}{2N} \gt \log(1-\alpha),$

ima

\begin{matrix} (2) & N > \frac{- k^{2}}{2 \log (1 - α)} \approx \frac{k^{2}}{2 α} = N^{*} \end{matrix}

$N \gt\frac{-k^2}{2\log(1-\alpha)} \approx \frac{k^2}{2\alpha}=N^{*}\tag{2}$

küçük . $\alpha$

Örneğin, ile , söz konusu gibi (karşılık gelen geleneksel bir değer güven), verir . $k=10^6-1$ $\alpha=0.05$ $95\%$ $(2)$ $N \gt 10^{13}$

İşte bu sonucun daha geniş bir yorumu. Formül yaklaşmadan, elde . Bu için bir milyon doğum gününde çarpışma şansı (yaklaşık olarak hesaplanmadan hesaplanır), esasen . Bu nedenle, bu büyük veya daha büyük olan herhangi bir için veya daha fazla bir olasılıkla çarpışma olmayacaktır, bu da bildiklerimizle tutarlı değildir, ancak daha küçük bir için çarpışma şansı üzerine çıkar. bize hafife olabileceğini korku yapmaya başlar . $(2)$ $N=9.74786\times 10^{12}$ $N$ $p(10^6-1, 9.74786\times 10^{12})=95.0000\ldots\%$ $95\%$ $N$ $95\%$ $N$ $100 - 95= 5\%$ $N$

Başka bir örnek olarak, geleneksel Doğum Günü probleminde kişide çarpışma şansı ve kişide çarpışma şansı yoktur . Bu numaralar göstermektedir aşması gerektiğini ve doğru doğru değer aralığında, sırasıyla . Bu, bu yaklaşık, asimtotik sonuçların çok küçük için bile ne kadar doğru olabileceğini gösterir (küçük bağlı kalmamız şartıyla ). $4\%$ $k=6$ $5.6\%$ $k=7$ $N$ $360$ $490$ $366$ $k$ $\alpha$

— whuber
kaynak

Böyle bir cevap vermeye hazır değildim. Rakamlarla bu büyük yaklaşımların hesaplanması daha kolay olabilir. Vikipedi, k insanlarıyla (uzaylılar) N'de yaklaşık değerleri ve sınırları gösteren genel doğum günü problemini verir. İlk denkleminizle aynı formüle sahiptim.

— Michael R. Chernick

Sorum şu: N'nin% 100 güvene ulaşmak için ne kadar büyük olması gerektiği. 10 ^ 18 gibi bir şey olduğunu düşünüyorum.

— Michael R. Chernick

@MichaelChernick% 100 güven için N sonsuz olur. Herhangi bir sonlu yıl için ve 2 veya daha fazla uzaylı olan herhangi bir parti için, aynı doğum gününe sahip iki uzaylı olasılığı her zaman 0'dan büyüktür.

— Pere

@ Evet, bunu gördüğünüz için teşekkür ederim. Hemen düzeltirim. Gönderinin geri kalanında hiçbir fark yaratmadı.

— whuber

@Paul Uszak Sanırım Pere'ın cevabı (şimdi silindi) hakkındaki yorumunuz çok sertti. Cevabının iyi niyetle verildiğini düşünüyorum. Yararlı yaklaşımlar sunarak size yardımcı olmaya çalışıyordu. Daha sonra whuber'ın cevabını gördü ve daha eksiksiz olduğuna karar verdi ve cevabını silmeyi kabul etti. Ayrıntılı bir cevap beklememesiyle ilgili yorumu, onu yorumlama şekliniz değildi. Bu zor bir problem. Hatta anlaşılabilir olması için yazıyı yeniden yazmanız gerekiyordu. Eminim şaka gibi bir problemi çözmez.

— Michael R. Chernick