Matematiksel teoriden “eğimli düzgün dağılım” dan rastgele sayılar üretme

Bazı amaçlar için, "eğimli düzgün" dağıtımdan rasgele sayılar (veri) üretmem gerekiyor. Bu dağılımın "eğimi" makul aralıklarla değişebilir ve daha sonra dağılımım eğime bağlı olarak üniformdan üçgene değişmelidir. İşte benim türetme:

En kolaylaştırır ve veri oluştururlar oluşturmak Let için (mavi, kırmızı homojen olarak dağılmıştır). Mavi çizginin olasılık yoğunluk fonksiyonunu elde etmek için sadece o çizginin denklemine ihtiyacım var. Böylece:$0$$B$

$$f(x) = tg(\varphi)x + Y(0)$$

ve beri (resim):

$$\begin{align} tg(\varphi) &= \frac{1/B - Y(0)}{B/2} \\[5pt] Y(0) &= \frac{1}{B} - tg(\varphi)\frac{B}{2} \end{align}$$

Buna sahibiz:

$$f(x) = tg(\varphi)x + \left(\frac{1}{B} - tg(\varphi)\frac{B}{2} \right)$$

Yana PDF olduğunu CDF eşittir:$f(x)$

$$F(x) = \frac{tg(\varphi)x^2}{2} + x\left(\frac{1}{B} - tg(\varphi)\frac{B}{2} \right)$$

Şimdi bir veri üreticisi yapalım. Fikir şu ki, eğer düzeltirsem , burada açıklandığı gibi tekdüze bir dağılımdan den numaralar rastgele sayılar hesaplanabilir . Böylece, sabit ile dağıtımımdan 100 rastgele sayıya ihtiyacım varsa , o zaman tekdüze dağılımdan herhangi bir için "eğimli dağıtım" dan vardır ve şu şekilde hesaplanabilir:$\varphi, B$$x$$(0,1)$$\varphi, B$$t_i$$(0,1)$$x_i$$x$

$$\frac{tg(\varphi)x_i^2}{2} + x_i\left(\frac{1}{B} - tg(\varphi)\frac{B}{2} \right) - t_i = 0$$

Bu teoriden Python kodunu şöyle yaptım:

import numpy as np
import math
import random
def tan_choice():
    x = random.uniform(-math.pi/3, math.pi/3)
    tan = math.tan(x)
    return tan

def rand_shape_unif(N, B, tg_fi):
    res = []
    n = 0
    while N > n:
        c = random.uniform(0,1)
        a = tg_fi/2
        b = 1/B - (tg_fi*B)/2
        quadratic = np.poly1d([a,b,-c])
        rots = quadratic.roots
        rot = rots[(rots.imag == 0) & (rots.real >= 0) & (rots.real <= B)].real
        rot = float(rot)
        res.append(rot)
        n += 1
    return res

def rand_numb(N_, B_):
    tan_ = tan_choice()
    res = rand_shape_unif(N_, B_, tan_)
    return res

Ancak üretilen sayılar rand_numbsıfıra veya B'ye çok yakındır (25 olarak ayarladığım). Varyans yok, 100 sayı oluşturduğumda hepsi 25'e yakın ya da hepsi sıfıra yakın. Tek koşuda:

num = rand_numb(100, 25)
numb
Out[140]: 
[0.1063241766836174,
 0.011086243095907753,
 0.05690217839063588,
 0.08551031241199764,
 0.03411227661295121,
 0.10927087752739746,
 0.1173334720516189,
 0.14160616846114774,
 0.020124543145515768,
 0.10794924067959207]

Bu yüzden kodumda çok yanlış bir şey olmalı. Birisi türetimi veya kodumu bana yardımcı olabilir mi? Bu konuda çıldırıyorum, hiçbir hata göremiyorum. Sanırım R kodu bana benzer sonuçlar verecek.

Türeviniz tamam. üzerinde pozitif bir yoğunluk elde etmek için sınırlaması yapmanız gerektiğini unutmayın. kodunuzda arasında almanız gerekir. , kodunuzun başarısız olduğu yer burası.$(0,B)$

$$B^2 \tan\phi < 2.$$ $B = 25$$\phi$$\pm\tan^{-1}{2\over 625}$

İkinci dereceden bir çözücü kullanmaktan kaçınabilirsiniz (ve yapmalısınız) ve ardından 0 ile arasındaki kökleri seçebilirsiniz . İkinci dereceden bir polinom içinde çözülecek olan ile Yapı ile ve ; ayrıca artar .$B$$x$

$$F(x) = t$$ $$F(x) = {1\over 2} \tan \phi \cdot x^2 + \left( {1\over B} - {B\over 2} \tan \phi \right) x.$$ $F(0) = 0$$F(B) = 1$$F$$(0,B)$

Bundan , ilgilendiğimiz parabolün bir kısmının parabolün sağ tarafının bir parçası olduğunu ve saklanacak kökün iki kökün en yükseği olduğunu görmek kolaydır. olduğu Aksine, ise parabol baş aşağıdır ve soluna ilgi duyuyoruz Bölüm. Saklanacak kök en düşük köküdür. işareti göz önüne alındığında , bunun ilk durumda olduğundan aynı kök (yani ) olduğu görülmektedir.$\tan \phi > 0$

$$x = {1\over \tan \phi} \left( {B\over 2} \tan \phi - {1\over B} + \sqrt{ \left( {B\over 2} \tan \phi - {1\over B} \right)^2 + 2 \tan \phi \cdot t}. \right)$$ $\tan\phi < 0$$\tan\phi$$+\sqrt\Delta$

İşte bazı R kodu.

phi <- pi/8; B <- 2
f <- function(t) (-(1/B - 0.5*B*tan(phi)) + 
       sqrt( (1/B - 0.5*B*tan(phi))**2 + 2 * tan(phi) * t))/tan(phi)
hist(f(runif(1e6)))

Ve :$\phi < 0$

phi <- -pi/8
hist(f(runif(1e6)))