Uzunlamasına bir çalışmada ortalama tedavi etkisini tahmin etmenin en iyi yolu nedir?

Boylamsal bir çalışmada, birimlerinin sonuçları toplam sabit ölçüm olayı ile zaman noktalarında tekrar tekrar (sabit = birimler üzerindeki ölçümler aynı anda alınır). $Y_{it}$ $i$ $t$ $m$

Birimler rastgele bir tedaviye, veya bir kontrol grubuna, atanır . Tedavinin ortalama etkisini tahmin etmek ve test etmek istiyorum, yani beklentilerin zaman ve bireyler arasında alındığı. Bu amaç için sabit vesileli çok düzeyli (karışık efektler) bir model kullanmayı düşünüyorum: $G=1$ $G=0$

bir T E = E (Y | G, = 1) - E (Y | G, = 0),

$ATE=E(Y | G=1) - E(Y | G=0),$

Y_{ben t} = α + β {G,}_{ben} + u_{0 ben} + e_{ben t}

$Y_{it} = \alpha + \beta G_i + u_{0i} + e_{it}$

ile kesişme, , birimlerinde rastgele kesişim ve kalıntı. $\alpha$ $\beta$ $ATE$ $u$ $e$

Şimdi alternatif modeli düşünüyorum

Y_{ben t} = \tilde{β} {G,}_{ben} + Σ_{j = 1}^{m} κ_{j} d_{ben j} + Σ_{j = 1}^{m} γ_{j} d_{ben j} {G,}_{ben} + {\tilde{u}}_{0 ben} + {\tilde{e}}_{ben t}

$Y_{it} = \tilde{\beta} G_i + \sum_{j=1}^m \kappa_j d_{ij} + \sum_{j=1}^m \gamma_j d_{ij} G_i + \tilde{u}_{0i} + \tilde{e}_{it}$

bu sabit etkiler içeren Her vesileyle için burada yapay ise ve başka. Ayrıca bu model, tedavi ve zaman arasında parametreleri ile bir etkileşim içerir . Dolayısıyla bu model, etkisinin zaman içinde değişebileceğini dikkate alır . Bu kendi içinde bilgilendirici, ama heterojenlik çünkü o da, parametrelerin tahminine hassasiyetini artırmak gerektiğine inanıyoruz dikkate alınır. $\kappa_j$ $t$ $d_t=1$ $j=t$ $0$ $\gamma$ $G$ $Y$

Ancak, bu modelde katsayısı artık eşit görünmemektedir . Bunun yerine, ilk vesileyle ATE'yi temsil eder ( ). Tahmini Yani daha etkili olabilir ama temsil etmez artık. $\tilde{\beta}$ $ATE$ $t=1$ $\tilde{\beta}$ $\beta$ $ATE$

Sorularım :

Bu uzunlamasına çalışma tasarımında tedavi etkisini tahmin etmenin en iyi yolu nedir?
Model 1'i kullanmak zorunda mıyım yoksa model 2'yi kullanmanın bir yolu var mı (belki daha verimli)?
, ve özgü sapmayı (örn. Efekt kodlaması kullanarak) yorumlamasını sağlamanın bir yolu var mı? $\tilde{\beta}$ $ATE$ $\gamma$

— Tomka
kaynak

Model 2'de ATE, artı ortalamasına eşit değil mi?

\tilde{β}

$\tilde{\beta}$

γ_{j}

$\gamma_j$

— jujae

Amacınız yalnızca ATE'yi tahmin ediyorsa, model 1 yeterli olacaktır, çünkü tarafsız olacaktır. Modelde dönem veya etkileşim eklemek, tahmininizin varyansını azaltacağına inanıyorum. Ve yı sapma kodlaması (ortalamadan sapma) olarak kodlamayı denemek isteyebileceğinizi düşünüyorum.

γ

$\gamma$

— jujae

@jujae Model 2'nin ana nedeni varyans azaltımıdır, evet. Ama ATE'yi model 2'den nasıl çıkaracağımı merak ediyorum. İlk yorumunuz bir işaretçi gibi görünüyor. Bunu gösterebilir veya ayrıntılı olarak açıklayabilir misiniz? O zaman bu sorumun cevabına yakın olacaktı!

— tomka

Model 2'ye uyduğunuzda, dönem 1'de ATE'nin yorumuna sahiptir. Tanımlanabilirlik değerlendirmesi için etkileşim teriminin katsayıları referans seviyesi olarak 1. periyotta ATE ile kodlanacaktır. Bu nedenle aslında dönemindeki tedavi ile 1. dönemdeki tedavi arasındaki yazılım çıktısı arasındaki farktır . Bu nedenle, her döneminde , ATE ve döneme özgü ATE'nin ortalaması olduğunda , model 1'de olan büyük ortalama

\tilde{β}

$\tilde{\beta}$

γ_{j}

$\gamma_j$

j

$j$

j

$j$

\tilde{β} + γ_{j}

$\tilde{\beta} + \gamma_j$

β

$\beta$

— ATE'ye yol açar

Yanıtlar:

Yorumlarda "ATE'yi model 2'den nasıl çıkaracağımı merak ediyorum" sorusunu ele alıyoruz:

Her şeyden önce, model 2'de, tüm tanımlanamaz, bu da tasarım matrisinde sıralama eksikliği sorununa yol açar. Bir seviye düşürmek gerekir, örneğin için varsayarsak . Yani, kontrast kodlamayı kullanarak ve 1. periyottaki tedavi etkisini 0 olduğunu varsayalım. R'de, 1. periyottaki tedavi etkisi ile etkileşim terimini referans seviyesi olarak ve bu da dönem 1'de tedavi etkisinin yorumlanmasına sahiptir. SAS'ta, periyodundaki tedavi etkisini referans seviyesi olarak , daha sonra dönemindeki tedavi etkisinin yorumuna sahip olacaktır. $\gamma_j$ $\gamma_j =0$ $j=1$ $\tilde{\beta}$ $m$ $\tilde{\beta}$ $m$ , artık dönem 1 değil.

Kontrastın R yolunda oluşturulduğunu varsayarsak, o zaman her etkileşim terimi için tahmin edilen katsayılar ( modelinizde tanımladığınız şey tam olarak olmasa da, bunu hala göstereceğim ) zaman periyodu arasındaki tedavi etkisi farkının yorumuna sahiptir. ve zaman periyodu 1. ATE'yi her periyotta , ardından için . Bu nedenle bir tahmin isimli . (tembellik nedeniyle gerçek parametre ile tahmin edenin kendisi arasındaki gösterim farkını yok sayarak) Ve doğal olarak sizin $\gamma_j$ $j$ $\mathrm{ATE}_j$ $\gamma_j= \mathrm{ATE}_j - \mathrm{ATE}_1$ $j=2,\dots, m$ $\mathrm{ATE}_j$ $\tilde{\beta} + \gamma_j$ $\mathrm{ATE}=\beta=\frac{1}{m} \sum_{j=1}^m \mathrm{ATE}_j=\frac{\tilde{\beta}+(\tilde{\beta}+\gamma_2)+\cdots+(\tilde{\beta}+\gamma_m)}{m} = \tilde{\beta}+\frac{1}{m}(\gamma_2 + \cdots + \gamma_m)$ .

Bunu doğrulamak için R basit bir simülasyon yaptım:

set.seed(1234)
time <- 4
n <-2000
trt.period <- c(2,3,4,5) #ATE=3.5
kj <- c(1,2,3,4)
intercept <- rep(rnorm(n, 1, 1), each=time)
eij <- rnorm(n*time, 0, 1.5)
trt <- rep(c(rep(0,n/2),rep(1,n/2)), each=time)
y <- intercept + trt*(rep(trt.period, n))+rep(kj,n)+eij
sim.data <- data.frame(id=rep(1:n, each=time), period=factor(rep(1:time, n)), y=y, trt=factor(trt))

library(lme4)
fit.model1 <- lmer(y~trt+(1|id), data=sim.data)
beta <- getME(fit.model1, "fixef")["trt1"]

fit.model2 <- lmer(y~trt*period + (1|id), data=sim.data)
beta_t <- getME(fit.model2, "fixef")["trt1"]
gamma_j <- getME(fit.model2, "fixef")[c("trt1:period2","trt1:period3","trt1:period4")]

results <-c(beta, beta_t+sum(gamma_j)/time)
names(results)<-c("ATE.m1", "ATE.m2")
print(results)

Ve sonuçlar bunu doğrular:

  ATE.m1   ATE.m2 
3.549213 3.549213

Yukarıdaki model 2'de kontrast kodlamanın doğrudan nasıl değiştirileceğini bilmiyorum, bu yüzden bir etkileşimin doğrudan doğrusal fonksiyonunu nasıl kullanabileceğini ve standart hatayı nasıl elde edebileceğinizi göstermek için multcomp paketini kullandım:

sim.data$tp <- interaction(sim.data$trt, sim.data$period)
fit.model3 <- lmer(y~tp+ (1|id), data=sim.data)
library(multcomp)
# w= tp.1.1 + (tp.2.1-tp.2.0)+(tp.3.1-tp.3.0)+(tp.4.1-tp.4.0)
# tp.x.y=interaction effect of period x and treatment y
w <- matrix(c(0, 1,-1,1,-1,1,-1,1)/time,nrow=1)
names(w)<- names(getME(fit.model3,"fixef"))
xx <- glht(fit.model3, linfct=w)
summary(xx)

Ve işte çıktı:

 Simultaneous Tests for General Linear Hypotheses
Fit: lmer(formula = y ~ tp + (1 | id), data = sim.data)
Linear Hypotheses:
       Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
1 == 0  3.54921    0.05589   63.51   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
(Adjusted p values reported -- single-step method)

Ben standart hata tarafından yukarıdaki doğrusal kombinasyon formu ve model 3 katsayılarının tahmini varyans-kovaryans matrisi ile elde edildiğini düşünüyorum. $\sqrt{w \hat{V} w^T}$ $w$ $V$

Sapma kodlaması

doğrudan yorumuna sahip olmasını sağlamanın bir başka yolu sapma kodlaması kullanmaktır , böylece daha sonra ortak değişkenler karşılaştırmasını temsil eder : $\tilde{\beta}$ $\mathrm{ATE}$ $\mathrm{ATE}_j - \mathrm{ATE}$

sim.data$p2vsmean <- 0
sim.data$p3vsmean <- 0
sim.data$p4vsmean <- 0
sim.data$p2vsmean[sim.data$period==2 & sim.data$trt==1] <- 1
sim.data$p3vsmean[sim.data$period==3 & sim.data$trt==1] <- 1
sim.data$p4vsmean[sim.data$period==4 & sim.data$trt==1] <- 1
sim.data$p2vsmean[sim.data$period==1 & sim.data$trt==1] <- -1
sim.data$p3vsmean[sim.data$period==1 & sim.data$trt==1] <- -1
sim.data$p4vsmean[sim.data$period==1 & sim.data$trt==1] <- -1


fit.model4 <- lmer(y~trt+p2vsmean+p3vsmean+p4vsmean+ (1|id), data=sim.data)

Çıktı:

Fixed effects:
            Estimate Std. Error t value
(Intercept)  3.48308    0.03952   88.14
trt1         3.54921    0.05589   63.51
p2vsmean    -1.14774    0.04720  -24.32
p3vsmean     1.11729    0.04720   23.67
p4vsmean     3.01025    0.04720   63.77

— jujae
kaynak

İyi - ama standart bir hata tahmini nasıl alınır? Ve etkileşimlerin / dönem etkilerinin kodlamasını (sizin ) doğrudan ATE olacak şekilde (o zaman bir SE tahmini ile) kullanmak mümkün olmamalı mı?

\tilde{β}

$\tilde{\beta}$ beta_t

— tomka

@tomka, bu mümkün, model2'deki etkileşim teriminin kontrast matrisini nasıl değiştireceğimi bilmiyorum, biraz araştırma ve geri dönüş yapacak.

— jujae

Cevabınızı düşünerek bunu buldum. Bence sapma kodlaması istediğimi yapıyor. Test edebilir ve cevabınıza ekleyebilirsiniz. ats.ucla.edu/stat/sas/webbooks/reg/chapter5/…

— tomka

@tomka: Bu tam olarak aklımda olan, sapma kodlamasından bahsettiğim sorunuzun orijinal yorumuna bakın :), bunu uygulamaya çalışacağım ve cevabı daha sonra güncelleyeceğim. (Kodlama için manuel olarak kukla değişken oluşturmadan R'de yapmakta biraz sorun yaşıyorum, ancak bunu yapmanın tek yolu gibi görünüyor).

— jujae

@tomka: gecikme için özür dilerim, sapma kodu bölümünü güncelledi

— jujae

İlk soru için, benim anlayışım, “süslü” yollara sadece tedavinin potansiyel sonuçlardan bağımsız olduğu hemen belli olmadığında ihtiyaç duyulmasıdır. Bu durumlarda, verilerin bazı yönlerinin tedaviye rastgele atamanın yaklaşık olarak yapılmasına izin verdiğini ve bu da bizi enstrümantal değişkenlere, regresyon süreksizliğine vb.

Senin durumunda, birimler vardır rastgele tedaviye atanan, nedenle tedavi potansiyel sonuçlarının bağımsız olduğunu inandırıcı olmaya başladı. O zaman işleri basit tutabiliriz: sıradan en küçük karelerle model 1'i tahmin edin ve ATE hakkında tutarlı bir tahmininiz var. Birimler rastgele tedaviye atandığından, bu rastgele etkiler varsayımının inandığı birkaç durumdan biridir.

— Peter
kaynak