Rasgele ve sabit etkiler arasındaki matematiksel fark nedir?

İnternette rastgele ve sabit etkilerin yorumlanmasıyla ilgili çok şey buldum. Ancak, aşağıdakileri sabitleyen bir kaynak bulamadım:

Rasgele ve sabit etkiler arasındaki matematiksel fark nedir?

Bununla modelin matematiksel formülasyonunu ve parametrelerin tahmin edilme yöntemini kastediyorum.

Rastgele etkilere sahip en basit model, dağıtım varsayımlarına sahip gözlemleriyle verilen tek yönlü ANOVA modelidir : ( y i j | μ i ) ~ IID N- ( μ i , σ 2 w ) $y_{ij}$

Burada rastgele etkiler . Rastgele değişkenlerdir, oysa sabit etkileri olan ANOVA modelinde sabit sayılardır.$\mu_i$

Örneğin üç teknik her bir laboratuar ölçümleri bir dizi kaydeder ve olan teknisyen bir inci ölçüm . teknisyeni tarafından oluşturulan dizinin "gerçek ortalama değerini" çağırın ; Bu Gördüğünüz, biraz yapay bir parametredir teknisyen olduğu ortalama değer olarak o / o ölçümlerin büyük bir dizi kaydedildi tutulduğunda elde olurdu.y i j j i μ i i μ i$i=1,2,3$$y_{ij}$$j$$i$$\mu_i$$i$$\mu_i$$i$

Eğer değerlendirirken ilgilenen varsa , , (değerlendirmek amacıyla örneğin önyargı operatörler arasındaki), o zaman sabit etkiler ile ANOVA modeli kullanmak zorunda.μ 2 μ $\mu_1$$\mu_2$$\mu_3$

ANOVA modelini , modeli tanımlayan ve varyansları ve toplam varyans değişkenleriyle ilgileniyorsanız, rastgele efektlerle kullanmanız (aşağıya bakınız). Varyans bir teknisyen tarafından üretilen kayıtların varyansını (tüm teknisyenler için aynı olduğu varsayılır) ve adlandırılır arası teknisyen varyans. Belki de ideal olarak, teknisyenler rastgele seçilmelidir. σ 2 b σ 2 b + σ 2 w σ 2 w σ 2 $\sigma^2_w$$\sigma^2_b$ $\sigma^2_b+\sigma^2_w$$\sigma^2_w$$\sigma^2_b$

Bu model, bir veri numunesi için varyans formülünün ayrışmasını yansıtır:

Toplam varyans = ortalamaların varyansı varyansların ortalamaları$+$

ANOVA modeli tarafından rastgele etkilerle yansıtılır:

Aslında, dağılımı verilen koşullu dağılımı ve dağılımı ile . Eğer biri "koşulsuz" dağılımını hesaplarsa, o zaman . ( y i j ) μ i μ i y i j y i j ~ N ( μ , σ 2 b + σ 2 w$y_{ij}$$(y_{ij})$$\mu_i$$\mu_i$$y_{ij}$$\boxed{y_{ij} \sim {\cal N}(\mu, \sigma^2_b+\sigma^2_w)}$

Daha iyi fotoğraflar için buraya slayt 24 ve slayt 25'e bakın (bindirmeleri takdir etmek için pdf dosyasını kaydetmeniz gerekir, çevrimiçi sürümü izlemeyin).

Temel olarak, bir faktörü rastgele olarak modellediğinizde bence en belirgin fark, etkilerin ortak bir normal dağılımdan kaynaklandığı varsayılıyor.

Örneğin, notlarla ilgili bir tür modeliniz varsa ve farklı okullardan gelen öğrenci verilerinizi hesaba katmak ve okulu rastgele bir faktör olarak modellemek istiyorsanız, bu, okul ortalamalarının normal olarak dağıldığını varsaydığınız anlamına gelir. Bu, iki çeşit varyasyon kaynağının modellenmesi anlamına gelir: öğrenci notlarının okul içi değişkenliği ve okul değişkenliği.

Bu kısmi havuzlama denilen bir şeyle sonuçlanır . İki uç noktayı göz önünde bulundurun:

1. Okulun hiçbir etkisi yoktur (okul değişkenliği sıfırdır). Bu durumda, okulu hesaba katmayan lineer bir model en uygunudur.
2. Okul değişkenliği, öğrenci değişkenliğinden daha büyüktür. O zaman temel olarak öğrenci seviyesi yerine okul düzeyinde çalışmanız gerekir (daha az # örnek). Bu temelde sabit etkileri kullanarak okulu hesaba katan modeldir. Okul başına birkaç örnek varsa, bu sorunlu olabilir.

Her iki seviyedeki değişkenliği tahmin ederek karma model bu iki yaklaşım arasında akıllı bir uzlaşma sağlar. Özellikle, okul başına o kadar büyük bir öğrenciniz yoksa, bu, her bir okulun etkilerini, model 2 tarafından tahmin edildiği gibi, model 1'in genel ortalamasına göre küçüleceğiniz anlamına gelir.

Bunun nedeni, modellerin, iki öğrenci içeren bir okulunuz varsa, okul nüfusu için "normal" den daha iyi olan bir dersiniz varsa, bu etkinin bir kısmının seçimde şanslı olan okul tarafından açıklanması muhtemel olduğunu söylemesidir. iki öğrenciden baktı. Bunu kör etmez, okul içindeki değişkenliğin tahminine bağlı olarak yapar. Bu aynı zamanda daha az örneklemli etki seviyelerinin genel ortalamaya doğru büyük okullardan daha fazla çekildiği anlamına gelir.

Önemli olan rastgele faktör seviyelerinde değiş tokuş edilebilirliğe ihtiyaç duymanızdır. Bu, bu durumda, okulların (sizin bilginizden) değiştirilebildiği ve onları ayırt edecek hiçbir şey bilmediğiniz anlamına gelir (bir tür kimlik dışında). Ek bir bilginiz varsa, bunu ek bir faktör olarak dahil edebilirsiniz, okulların muhasebeleştirilen diğer bilgilere bağlı olması şarttır.

Örneğin, New York'ta yaşayan 30 yaşındaki yetişkinlerin cinsiyete bağlı olarak değişebilir olduğunu varsaymak mantıklı olacaktır. Daha fazla bilgiye sahipseniz (yaş, etnik köken, eğitim) bu bilgiyi de dahil etmek mantıklı olacaktır.

OTH, bir kontrol grubuyla ve çılgınca üç farklı hastalık grubuyla çalıştıysanız, spesifik hastalık değişmez olmadığından, grubun rastgele olarak modellenmesi mantıklı değildir. Bununla birlikte, birçok kişi büzülme efektini o kadar iyi sever ki, yine de rastgele bir etki modeli için tartışacaklardır, ancak bu başka bir hikaye.

Matematiğe çok fazla giremediğimi farkettim, ancak temelde fark, rastgele etkiler modelinin hem okullar hem de öğrenciler düzeyinde normal dağılmış bir hata tahmin ettiği, ancak sabit etki modelinin sadece hata yaptığı öğrencilerin seviyesi. Özellikle bu, her okulun diğer seviyelere ortak bir dağıtımla bağlı olmayan kendi seviyesine sahip olduğu anlamına gelir. Bu aynı zamanda, sabit modelin orijinal verilere dahil edilmemiş bir okul öğrencisine ekstrapolasyona izin vermediği anlamına gelirken, rastgele etki modeli bunu yapar ve öğrenci düzeyinin ve okul seviyesi değişkenliğinin toplamı olan bir değişkenlik gösterir. Özel olarak ilgileniyorsanız, bunun içinde çalışabiliriz.

Ekolojik arazide, bu tür etkiler gözlemlenmemiş, ancak panel verileri kullanılarak tahmin edilebilir (zaman içinde aynı birimler üzerinde tekrarlanan gözlem). Sabit etki kestirimi yöntemi, birime özgü yakalamalar ve bağımsız açıklayıcı değişkenler arasında korelasyon sağlar. Rastgele etkiler yapmaz. Daha esnek olan sabit etkileri kullanmanın maliyeti, zamanla değişmeyen değişkenler (cinsiyet, din veya ırk gibi) üzerindeki katsayının tahmin edilememesidir.

Not: Diğer alanların kendi terminolojileri vardır ve kafa karıştırıcı olabilir.

Standart bir yazılım paketinde (örneğin R'ler lmer) temel fark şudur:

• sabit etkiler maksimum olabilirlik ile tahmin edilir (doğrusal bir model için en küçük kareler)
• rastgele etkiler ampirik Bayes tarafından tahmin edilir (en küçük olasılıkla büzülme parametresinin seçildiği doğrusal model için bazı büzüşmeli kareler)

Eğer Bayesian iseniz (örneğin WinBUGS), o zaman gerçek bir fark yoktur.

@Joke Sabit etkiler modeli, bir çalışma (veya deneme) tarafından oluşturulan etki büyüklüğünün sabit olduğunu, yani bir müdahale için ölçümleri tekrarlamanın aynı etki büyüklüğünü ortaya çıkardığını belirtir. Muhtemelen, deney için dış ve iç koşullar değişmez. Farklı şartlar altında bir takım denemeleriniz veya çalışmalarınız varsa, farklı efekt boyutlarına sahip olacaksınız. Bir dizi etki büyüklüğü için ortalama ve varyansın parametrik tahminleri, bunların sabit etkiler olduğunu ya da bunların rasgele etkiler olduğunu varsaymak suretiyle gerçekleştirilebilir (bir süper popülasyondan gerçekleştirilir). Matematiksel istatistiklerin yardımı ile çözülebilecek bir mesele olduğunu düşünüyorum.