Maksimum olasılık ve momentler yöntemi ne zaman aynı tahmin edicileri üretir?

Geçen gün bu soru soruldu ve daha önce hiç düşünmemiştim.

Sezgim her tahmincinin avantajlarından geliyor. Maksimum olasılık tercihen veri oluşturma sürecinden emin olduğumuz zamandır, çünkü momentler yönteminin aksine, tüm dağılım bilgisini kullanır. MoM tahmincileri sadece anlarda bulunan bilgileri kullandığından, tahmin etmeye çalıştığımız parametre için yeterli istatistikler tam olarak verilerin anları olduğunda, iki yöntemin aynı tahminleri üretmesi gerektiği görülmektedir.

Bu sonucu birkaç dağıtım ile kontrol ettim. Normal (bilinmeyen ortalama ve varyans), üstel ve Poisson'un hepsinin anlarına eşit yeterli istatistikleri vardır ve MLE ve MoM tahmincileri aynıdır (çoklu MoM tahmincilerinin olduğu Poisson gibi şeyler için kesinlikle doğru değildir). Biz Üniformalı bakacak olursak , yeterli istatistik is ve aylık ve MLE tahmin edicileri farklıdır.$(0,\theta)$$\theta$$\max(X_1,\cdots,X_N)$

Belki de bu üstel ailenin bir tuhaflığı olduğunu düşündüm, ancak bilinen ortalamaya sahip bir Laplace için yeterli istatistikve varyans için MLE ve MoM tahmincisi eşit değildir.$\frac{1}{n} \sum |X_i|$

Şimdiye kadar genel olarak herhangi bir sonuç gösteremedim. Genel koşulları bilen var mı? Ya da karşı bir örnek bile sezgilerimi geliştirmeme yardımcı olur.

Genel bir cevap, momentler yöntemine dayanan bir kestirimcinin parametrelendirmenin iki yönlü bir değişimi ile değişmezken, maksimum olabilirlik kestiricisinin değişmez olmasıdır. Bu nedenle, neredeyse asla çakışmazlar. (Neredeyse hiçbir zaman olası tüm dönüşümler boyunca.)

Ayrıca, soruda belirtildiği gibi, birçok MoM tahmincisi vardır. Aslında onların sonsuzluğu. Ama hepsi ampirik dağılımına dayanmaktadır, bir parametrik olmayan MLE olarak görülebilir, Bu soruya ilgili değildir, ancak.$\hat{F}$$F$

Aslında, soruyu çerçevelemenin daha uygun bir yolu, bir an tahmin edicinin ne zaman yeterli olduğunu sormak olacaktır, ancak bu, verilerin dağılımının üstel bir aileden, Pitman-Koopman lemmasından, cevabın zaten olduğu bir durumda olmasını zorlar. bilinen.

Not: Laplace dağılımında, ortalama bilindiğinde, sorun mutlak değerleri gözlemlemeye eşdeğerdir; bu daha sonra üstel değişkenler ve üstel bir ailenin bir parçasıdır.