Harmonik ortalama, kare göreli hataların toplamını en aza indirir

Harmonik anlamın kanıtlandığı bir referans arıyorum

{\bar{x}}^{h} = \frac{n}{\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{x_{i}}}

$\bar{x}^h = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}$

kare göreli hataların toplamını en aza indirir ( $z$ )

\sum_{i = 1}^{n} (\frac{(x_{i} - z)^{2}}{x_{i}}) .

$\sum_{i=1}^n \left( \frac{(x_i - z)^2}{x_i}\right).$

— Martin Van der Linden
kaynak

Yanıtlar:

$x_i > 0$

f (z) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{(x_{i} - z)^{2}}{x_{i}}

$f(z) = \sum_{i=1}^n \frac{(x_i - z)^2}{x_i}$

z

$z$

f^{'} (z) = - 2 \cdot \sum_{i = 1}^{n} (1 - \frac{z}{x_{i}})

$f'(z) = -2\cdot \sum_{i=1}^n (1-\frac{z}{x_i})$

f^{'} (z) = 0

$f'(z)=0$

f^{″} (z) = - 2 \cdot \sum_{i = 1}^{n} (0 - \frac{1}{x_{i}}) = 2 \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{x_{i}} > 0

$f''(z) = -2 \cdot \sum_{i=1}^n (0-\frac1{x_i}) = 2 \sum_{i=1}^n \frac1{x_i} > 0$

x_{i} > 0

$x_i>0$

Bir referans gelince, belki https://en.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A9chet_mean veya https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_mean ya da içindeki referanslar.

— kjetil b halvorsen
kaynak

Cevabınız için teşekkürler. Bir referans bana biraz yer kazandırır. Bir Lemma olarak sonucu, Lemma'nın müstakil bir kanıtını eklemek zorunda kalmadan başka bir kanıt olarak belirtmek istiyorum.

— Martin Van der Linden

Açık bir referans bulmak zor, hak ettiği için temel olarak kabul edilir! Kanıtın temel bir matematik egzersizi olduğunu söyleyemez misiniz?

— kjetil b halvorsen

Her zaman olduğu gibi, her zaman bir referans vermeyi tercih ederim. Ancak, temel sonuçların referans bulmanın zor olduğunu ve kanıtın okuyucuya bırakılmasının açıkça bir seçenek olduğunu anlıyorum.

— Martin Van der Linden

Geçici konu dışı ping: spearman-> spearman-rho eşanlamlısı için burada istatistiği değerlendirin.stackexchange.com/tags/ spearman-rho/ synonyms . Teşekkürler

— amo diyor Reinstate Monica

Bunun ağırlıkları ile ağırlıklı en küçük kareler regresyonu olduğunu . $1/x_i$

Referanslarla bağlantı kurmak için en aza indiren bulmaya çalıştığınız standart bir gösterime geri $\beta$

\sum ω_{i} (y_{i} - β)^{2} .

$\sum \omega_i (y_i - \beta)^2.$

Bu, tek bir sabit regresör ve ağırlık matrisi

X = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ ⋮ \\ 1 \end{matrix})

$X = \pmatrix{1\\1\\\vdots\\1}$

W = (\begin{matrix} ω_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & ω_{2} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & 0 \\ 0 & \dots & 0 & ω_{n} \end{matrix}) .

$W = \pmatrix{\omega_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \omega_2 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \omega_n}.$

I "olarak değiştirildi var " olarak " " ( "tepki") ve tahmin edilmesi için bir parametre olduğu yerine . Ağırlıklar . Hepsinin aşması gerekir . Çözüm şudur $x_i$ $y_i$ $\beta$ $z$ $\omega_i=1/x_i$ $0$

\hat{β} = (X^{'} W X)^{- 1} X^{'} W y = \frac{\sum_{i} x_{i} ω_{i}}{\sum_{i} ω_{i}} = \frac{\sum_{i} x_{i} / x_{i}}{\sum_{i} 1 / x_{i}} = \frac{n}{\sum 1 / x_{i}},

$\hat\beta = (X^\prime W X)^{-1}X^\prime W y = \frac{\sum_i x_i\omega_i }{\sum_i \omega_i} = \frac{\sum_i x_i/x_i }{\sum_i 1/x_i} = \frac{n}{\sum 1/x_i},$

QED .

Yorumlar

Aynı analiz, harmonik ortalamanın genelleştirilmesini ve karakterize edilmesinin faydalı bir yolunu sağlayan herhangi bir pozitif ağırlık seti için de geçerlidir.
Kontrollü bir deneyde olduğu gibi, sabit (rastgele değil) olarak görüntülendiğinde, ağırlıklı en küçük karelerin makineleri güven aralıkları ve tahmin aralıkları vb . Sağlar . Başka bir deyişle, sorunu bu ayara dönüştürmek size harmonik ortalamanın kesinliğini değerlendirmek için bir yol sağlar. $x_i$
Harmonik ortalamanın ağırlıklı bir sorunun çözümü olarak görülmesi, doğası ve özellikle de verilere olan duyarlılığı hakkında fikir verir. Artık en önemli katkıda bulunanların en küçük değerlerine sahip olduğu açıktır - ve önemleri ağırlık matrisi ölçülmüştür . $x_i$ $W$

Referans

Douglas C. Montgomery, Elizabeth A. Peck ve G. Geoffrey Vining, Doğrusal Regresyon Analizine Giriş. Beşinci baskı. J. Wiley, 2012. Bölüm 5.5.2.

— whuber
kaynak