Önyükleme, Monte Carlo

Ödevin bir parçası olarak şu soruyu belirledim:

Tek değişkenli bir veri örneği üzerinden% 95 güven aralığı elde etmek için önyüklemenin performansını incelemek için bir simülasyon çalışması tasarlayın ve uygulayın. Uygulamanız R veya SAS olabilir.

Bakmak isteyebileceğiniz performans özellikleri, güven aralığı kapsamıdır (yani, güven aralığının gerçek ortalamayı kaç kez içerdiği) ve Monte Carlo varyasyonu (yani, üst ve alt güven sınırlarının simülasyonlar arasında ne kadar değiştiği).

Bunun Monte Carlo varyasyon yönünü nasıl öğreneceğini bilen var mı? Bir algoritma falan bile çalışamıyorum. Monte Carlo entegrasyonu ile mi ilgili? Teşekkürler!

Bootstrap prosedürleri ile Monte Carlo prosedürleri arasındaki bu karışıklık tekrarlamaya devam ediyor, bu yüzden belki de bu, ele alınması gereken herhangi bir yer. ( RKod örnekleri ev ödevlerinde de yardımcı olabilir.)

Bootstrap'in bu uygulamasını şu şekilde düşünün :R

boot <- function(x, t) { # Exact bootstrap of procedure t on data x
    n <- length(x)       # Must lie between 2 and 7 inclusive.
    if (n > 7) {
        stop("Sample size exceeds 7; use an approximate method instead.")
    }
    p <- c(n, 1:(n-1))
    a <- rep(x, n^(n-1))
    dim(a) <- rep(n, n)
    y <- as.vector(a)
    while (n > 1) {
        n <- n-1
        a <- aperm(a, p)
        y <- cbind(as.vector(a), y)
    }
    apply(y, 1, t)
}

Hızlı bir bakış, bunun deterministik bir hesaplama olduğunu teyit edecektir : rastgele değerler üretilmez veya kullanılmaz. (İlgilenen okuyucuların kendileri için anlamaları için iç çalışmalarının ayrıntılarını bırakacağım.)

Bağımsız değişkenler boot, dizideki sayısal veri grubu xve tek bir sayısal değer döndürmek tiçin bir işleve (tam olarak olduğu gibi dizilere uygulanabilen) bir başvurudır x; diğer bir deyişle, tbir istatistiktir . Tüm olası örnekleri her birinden değiştirerek üretir xve tbunlara uygulanır , böylece her bir örnek için bir sayı üretir: bu kısaca bootstraptir. Dönüş değeri temsil eden bir dizi tam önyükleme dağılımına ait tnumune için x.

Küçük bir örnek olarak , bir örnek için ortalamayı başlatalım x= c(1,3):

> boot(c(1,3), mean)
> [1] 1 2 2 3

Gerçekten de ( 1 , 3 ) ' ten değiştirilen boyutta dört olası numune vardır ; yani, ( 1 , 1 ) , ( 1 , 3 ) , ( 3 , 1 ) ve ( 3 , 3 ) . hepsini oluşturur (listelenen sırayla) ve her biri için geçerlidir . Bu durumda ortalamayı hesaplar ve bunlar 1 , 2 , 2 ve $2$$(1,3)$$(1,1)$$(1,3)$$(3,1)$$(3,3)$boottt$1$$2$$2$$3$, çıkışta gösterildiği gibi.

Buradan nereye gideceğiniz, bootstrap'i nasıl kullanmak istediğinize bağlıdır. Tam bootstrap hakkında bilgiler yüzden görüntülemek için iyi bir fikir genellikle var, bu çıkış dizisinde bulunur. Standart sapmanın örnekten önyüklendiği bir örnek :$(1,3,3,4,7)$

hist(boot(c(1,3,3,4,7), sd))

$5$

> set.seed(17)
> quantile(boot(runif(5, min=0, max=10), sd), .95)[1]
     95% 
3.835870 

Bu özel rasgele örnek için sonuç 3.83587'dir. Bu kesindir: Aynı veri kümesiyle boottekrar arayacak olsaydınız, cevap tamamen aynı olurdu. Peki cevap farklı rastgele örneklerle nasıl değişebilir? Bu işlemi birkaç kez tekrarlayarak ve sonuçların bir histogramını çizerek öğrenin:

> boot.sd <- replicate(100, quantile(boot(runif(5, min=0, max=10), sd), .95)[1])
> hist(boot.sd)

$0$$10$$10/\sqrt{12} \approx 2.887$

> length(boot.sd[boot.sd >= 10/sqrt(12)]) / length(boot.sd)
[1] 0.75

Ama bu, belirttiğimiz (ve umduğumuz) nominal% 95'e yakın bir yerde değil! Bu bir simülasyon değeri: umutlarımızı gerçekte olanlarla karşılaştırıyor. (Neden tutarsızlık? Bunun bir SD'nin önyüklemesinin gerçekten küçük örneklerle iyi çalışmamasından kaynaklandığına inanıyorum.)

gözden geçirmek

• Önyükleme istatistikleri kavramsal olarak ortalama veya standart sapma gibi diğer istatistiklerle aynıdır; hesaplanması uzun zaman alıyor. (Koddaki uyarı mesajına bakın boot!)

• Monte-Carlo simülasyonu, bir bootstrap istatistiğinin örneklerin elde edilmesindeki rastgelelik nedeniyle nasıl değiştiğini incelemek için yararlı olabilir. Bu simülasyonda gözlenen varyasyon, önyüklemedeki varyasyondan değil , numunelerdeki varyasyondan kaynaklanmaktadır .

• $n^n$$n$

Bootstrap, bir tür rastgele örnekleme içerdiği için Monte Carlo tekniğidir. Bootstrap'i aynı veri kümesinde iki kez çalıştırırsanız, farklı yanıtlar alırsınız. Bootstrap'inizde ne kadar çok örnek kullanırsanız o kadar az varyasyon elde edersiniz.

Kapsam, aynı varsayımsal örnekleme dağılımından farklı veri kümelerindeki sonuçların varyasyonunu ifade eder.

Ben de tam olarak " Monte Carlo varyasyonu" ile ne kastedildiğinden emin değilim . Kuşkusuz, üst (veya alt) sınırın değeri, örneğin (ipucu) gibi şeylerde yinelemeler arasında ne kadar varyasyon olduğuna bakmak mümkün olmalıdır. Belki de bunu sadece Monte Carlo için yapmanızı istiyorlar, bootstrap için değil? Yine de, bu bir egzersiz için bir gereklilik değil. Bu cümle ile ne kastedildiğini sormak en iyisi olabilir.

Bu ev ödevi konusundaki anlayışım, belirli bir istatistik tekniği için bir Monte Carlo simülasyonu yapmanızı istemesidir. Yani, bir grup rastgele veri setini simüle eder, bu tekniği bu veri setine uygular ve daha sonra uygun bir şekilde özetlemek için sayıları saklarsınız (araçlar, simüle edilmiş olasılıklar, vb.)

Şimdi, söz konusu teknik, içinde Monte Carlo simülasyonunu içeren bootstrap (whuber'ın gösterdiği gibi, kesinlikle olası olmayan bootstrap'i yapmanız istenmediği sürece). Simülasyonlarınızın sonuçları olarak, örnek ortalamasını, örnek standart sapmasını ve bootstrap tarafından elde edilen ortalama için güven aralığının sınırlarını saklıyor olabilirsiniz.

$n=10$