Keyfi bir kesikli dağılıma göre sayılar nasıl oluşturulur?

Rasgele kesikli dağılıma dayalı sayıları nasıl oluştururum?

Örneğin, oluşturmak istediğim bir dizi numara var. Diyelim ki 1-3 ile etiketlenmişler.

% 1: 4,% 2: 50,% 3: 46

Temel olarak, yüzdeler, rasgele sayı üretecinin çıktısında görünecekleri olasılıktır. [0, 1] aralığında tekdüze bir dağılım oluşturacak bir pesudorandom sayı üreteci var. Bunu yapmanın bir yolu var mı?

Kaç elemente sahip olabileceğim konusunda bir sınır yok, ancak% 100'e kadar ekleyecek.

Kesikli bir dağılımdan örnekleme için en iyi algoritmalardan biri takma yöntemdir .

Alias ​​yöntemi (verimli bir şekilde), dikdörtgeni olasılıklarla orantılı alanlara bölmek için iki boyutlu bir veri yapısını önceden oluşturur.

Başvurulan alandan bu şematikte, birim yükseklikte bir dikdörtgen, renkle farklılaştırıldığı gibi, , , ve oranlarında dört çeşit bölgeye ayrılmıştır . Bu olasılıklarla kesikli bir dağılımdan tekrar tekrar numune almak için. Dikey şeritler sabit (birim) genişliğe sahiptir. Her biri bir veya iki parçaya bölünmüştür. Parçaların kimlikleri ve dikey bölümlerin yerleri sütun dizini üzerinden erişilebilen tablolarda saklanır.1 / 3 1 / 12 1 /$1/2$$1/3$$1/12$$1/12$

Tablo, sadece iki bağımsız tekdüze değer oluşturma ve hesaplama gerektiren iki basit adımda (her koordinat için bir tane) örneklenebilir . Bu, buradaki diğer cevaplarda tarif edildiği gibi ayrık CDF'yi tersine çevirmek için gereken hesaplamasını geliştirir.0 ( log ( n ) $O(1)$$O(\log(n))$

Bunu R içinde kolayca yapabilirsiniz, sadece ihtiyacınız olan boyutu belirtin:

sample(x=c(1,2,3), size=1000, replace=TRUE, prob=c(.04,.50,.46))

Örneğinizde, sözde rasgele Uniform [0,1] değerinizi çizdiğinizi söyleyin ve U olarak adlandırın.

1 ise U <0,04

2 eğer U> = 0.04 ve U <0.54

3 eğer U> = 0,54

Belirtilen% a, b, ... ise, basitçe çıktı

U ise değer 1

U> = a ve U <(a + b) ise 2 değeri

vb.

Temel olarak,% 'yi [0,1]' in alt gruplarına eşliyoruz ve tek tip rastgele bir değerin herhangi bir aralığa düşme ihtimalinin o aralığın uzunluğu olduğunu biliyoruz. Aralıkları sıraya koymak, benzersiz olmasa da bunu yapmanın en basit yolu. Bu, yalnızca kesikli dağılımları sorduğunuzu varsaymaktadır; Sürekli olarak, "reddetme örneklemesi" gibi bir şey yapabilir ( Wikipedia girişi ).

Mümkün ayrık sonuçlar olduğunu varsayalım . aralığını , bölümlenmiş aralığını vermek için , kümülatif olasılık kütle fonksiyonuna ( bağlı olarak alt girişimlere bölersiniz.[ 0 , 1 ] F ( 0 , 1 $m$$[0,1]$$F$$(0,1)$

burada ve . Örnekte ve$I_{j} = (F(j-1), F(j))$$F(0) \equiv 0$$m = 3$

çünkü ve ve .$F(1) = .04$$F(2) = .54$$F(3) = 1$

Sonra aşağıdaki algoritmayı kullanarak dağıtımı ile oluşturabilirsiniz :$X$$F$

(1) üretir$U \sim {\rm Uniform}(0,1)$

(2) Eğer , .$U \in I_{j}$$X = j$

• Bu adım olmadığını bakarak yapılabilir az her daha birikimli (gelen değişim noktası nerede olasılıklar ve görme için ) kullandığınız ne olursa olsun programlama dili bir boolean operatörü kullanarak meselesi olmalı ve hangi oluşur ilk vektörde nerede meydana geldiğini bulma .$U$TRUEFALSEFALSE

, ayrık ve bölünmüş olduklarından tam olarak aralıklarından birinde olacağını unutmayın .$U$$I_{j}$$[0,1]$

Basit bir algoritma, tekdüze rastgele numaranızla başlamaktır ve bir döngüde ilk önce ilk olasılıktan çıkarırsınız, sonuç negatifse sonra ilk değeri döndürürsünüz, yine de pozitif ise bir sonraki yinelemeye gider ve sonraki olasılığı çıkarırsınız. , negatif olup olmadığını kontrol edin, vb.

Değerlerin / olasılıkların sayısının sonsuz olabileceği için bu hoş bir şey ancak yalnızca bu sayılara yaklaştığınızda (Poisson veya negatif binom dağılımından üretmek gibi bir şey için) olasılıkları hesaplamanız gerekiyor.

Sonlu bir olasılık kümeniz varsa, ancak bunlardan çok sayıda sayı üretecekseniz, olasılıkları sıralamak daha verimli olabilir, böylece ilk önce en büyüğü, sonra en büyüğü ikinci olanı çıkarırsınız.

Öncelikle, dikkatinizi tam anlamıyla dağıtmayı izleyen tam sayı veya kayan nokta rasgele sayı üretimi için kullanıma hazır sınıfları olan bir python kütüphanesine dikkatinizi çekeyim .

Genel olarak konuşursak, bu soruna birkaç yaklaşım vardır. Bazıları zaman içinde doğrusaldır, ancak büyük bellek depolama gerektirir, bazıları O (n log (n)) zamanında çalışır. Bazıları tam sayılar için optimize edilmiş, bazıları ise dairesel histogramlar için tanımlanmıştır (örneğin: bir gün boyunca rastgele zaman noktaları oluşturma). Yukarıda belirtilen kütüphanede , tam sayı sayıları için bu kağıdı ve kayan nokta sayıları için bu tarifi kullandım. (Hala) dairesel histogram desteğinden yoksun ve genellikle dağınık, fakat iyi çalışıyor.

Ben de aynı problemi yaşadım. Her bir öğenin olasılığı olan ve öğelerinin olasılıkları birleştiği bir küme göz önüne alındığında, bir örneği verimli bir şekilde, yani herhangi bir şeyi sıralamadan ve tekrar tekrar kümeyi tekrarlamadan çizmeyi istedim .

Aşağıdaki işlev aralığı içinde en düşük düzgün dağılımlı rasgele sayı çizer . den rasgele bir sayı olsun .$N$$[a,1)$$r$$[0,1)$

Bir çizmek için bu fonksiyonu kullanarak artan bir dizi ait homojen [0,1 rastgele sayı dağıtılmaktadır). İşte olan bir örnek :$(a_i)$$N$$N = 10$

$a_0 = \text{next}(10, 0)$
$a_1 = \text{next}(9, a_0)$
$a_2 = \text{next}(8, a_1)$
$\dots$
$a_9 = \text{next}(1, a_8)$

Düzgün dağılmış sayılardan oluşan artan diziyi çizerken, (ancak sonlu) dağılımınızı temsil eden olasılık kümesini yineleyin . Letyineleyici ol ve . Çizdikten sonra , artım kadar sıfır ya da daha fazla kez . Daha sonra numunenize ekleyin ve çizerek devam edin .$(a_i)$$P$$0 \leq k < |P|$$p_k \in P$$a_i$$k$$\sum p_0 \dots p_k > a_i$$p_k$$a_{i+1}$

Operasyon dizisinin ve örneklem büyüklüğü örnek :$\{(1, 0.04), (2, 0.5), (3, 0.46)\}$$N = 10$

i a_i k Toplam Çizim
0 0.031 0 0.04 1
1 0.200 1 0.54 2
2 0.236 1 0.54 2
3 0,402 1 0,54 2
4 0,488 1 0,54 2
5 0,589 2 1,0 3
6 0,625 2 1,0 3
7 0,638 2 1,0 3
8 0,738 2 1,0 3
9 0.942 2 1.0 3

Örnek:$(1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3)$

Eğer merak ise fonksiyonu: Bu biri o olasılık tersi olan homojen aralığı içinde rasgele sayılar yalan dağıtılmış ile .$\text{next}$$N$$[a, x)$$x \leq 1$