Standart sapma kullanımı normal dağılım varsayımı üzerine inşa edilmiş mi?

Standart sapmanın her zaman normal dağılım varsayımı üzerine inşa edilip edilmediğini merak ediyorum. Başka bir deyişle, örnek normal olarak dağıtılmamışsa, standart sapmayı kullanmak bir hata olarak mı değerlendirilmelidir?

Hayır. Standart sapmanın kullanılması normalliği kabul etmez.

Rastgele bir değişkenin varyansı şu şekilde tanımlanır: $\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}[(X - \operatorname{E}[X])^2]$. Varyans olduğu sürece, standart sapma da vardır. Standart sapma varyansın kare köküdür.

Varyansı kullanabilirsiniz $\operatorname{Var}(X)$veya her ikisinin mevcut olduğu her zaman standart sapma. Varyans sayısız durumda ortaya çıkıyor.

Özel teoremler, lemmalar vb. Vardır. $X$ normal dağılımı izler.

Normalliğe bağlı olan standart sapmanın yaygın kullanımı:

Eğer $X$ normal dağılımı izler, sonra yaklaşık% 95 olasılık vardır. $X$ ortalamanın iki standart sapması içerisindedir.

Bu ifade şu durumlarda doğrudur: $X$ normal dağılımı (ve birkaçını) takip eder, ancak genel olarak doğru değildir.

Normalliğe bağlı olmayan varyansın ortak kullanımı :

İzin Vermek $X$ ortalama ile rastgele değişken olmak $\operatorname{E}[X] = \mu$ ve varyans $\operatorname{Var}(X) = \sigma^2$. Tanımlamak$X_i$ için $i=1, \ldots, n$ bağımsız rasgele değişkenler olarak $X$.

Örnek ortalamayı $n$ gözlemler şöyle:

Merkezi Limit Teoremi ile, $\bar{X}_n$ ortalama olarak normal dağılıma sahip rastgele bir değişkene yaklaşır $\mu$ ve varyans $\frac{\sigma^2}{n}$. (Daha kesin$\sqrt{n}\left( \bar{X}_n - \mu \right)$ dağıtımda yakınsar $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ gibi $n \rightarrow \infty$.)

Pratik ima örnek ortalama $\bar{X}_n$ büyük için $n$ varyansı normal olarak dağıtılmış rasgele değişken olarak değerlendirilebilir $\frac{\sigma^2}{n}$ bir varyansın fonksiyonudur $X$. (Hatırlama$\operatorname{Var}(X)=\sigma^2$.) Ve bu sonuç gerektirmez $X$Normal olmak. (Daha düşük bir$n$ eğer iyi çalışırsa $X$ olsa da bir anlamda normal dağılıma daha yakındır.)

Merkezi Limit Teoremi, varyansını kullanan her yerde bulunan bir araçtır. $X$ ve gerek yok $X$ normal dağılımı takip etmek.

Standart IID ayarında, uygun düzenlilik koşulları altında, $S^2$ (Hem de $\hat{\sigma}^2_{ML}$), $\mathrm{Var}[X_i]$. Bu doğrudan Büyük Sayıların Güçlü Yasası'ndan gelir. Normal bir model varsayımı gerekli değildir.