Standart sapma oluşturmak için neden varyansın kökü alıyoruz?

Maalesef bu başka bir yerde cevaplandıysa, bulamadım.

Standart sapmayı oluşturmak için neden özellikle de sapmanın karekökünü aldığımızı merak ediyorum. Yararlı bir değer üreten karekök alma konusunda ne?

Bir anlamda bu önemsiz bir sorudur, ancak bir başkasında, aslında oldukça derin!

• Diğerleri de gibi, karekök alma ima $\operatorname{Stdev}(X)$ ile aynı birimleri vardır $X$ .

• Karekök almak size mutlak homojenlik yani mutlak ölçeklenebilirlik kazandırır . Herhangi bir skalar $\alpha$ ve rasgele $X$ değişkeni için ,

  $$\operatorname{Stdev}[\alpha X] = |\alpha| \operatorname{Stdev}[X]$$ sahibiz: Stdev [ α X ] = | α | Stdev [ X ] Mutlak homojenlik , bir norm için gerekli bir özelliktir . Standart sapma olduğu benzer bir şekilde (ortalama sıfır rastgele değişkenlerin vektör bir alan) bir norm olarak yorumlanabilir √$\sqrt{x^2 + y^2+z^2}$ , üç boyutlu uzayda standart Euclidian normudur. Standart sapma, rastgele bir değişken ve onun ortalama arasındaki mesafenin bir ölçüsüdür.

Standart sapma ve $L_2$ normu

Sonlu boyut olgusu:

Bir in $n$ boyutlu vektör alan, diğer adıyla standart Öklid norm $L_2$ norm olarak tanımlanır:

Daha geniş, $p$ -norm $\|\mathbf{x}\|_p = \left(\sum_i |x_i|^p \right)^{\frac{1}{p}}$ mutlak homojenliği elde etmek için$p$kökünüalır:$\|\alpha \mathbf{x}\|_p = \left( \sum_i |\alpha x_i|^p \right)^\frac{1}{p} = | \alpha | \left( \sum_i |x_i|^p \right)^\frac{1}{p} = |\alpha | \|\mathbf{x}\|_p$.

Eğer ağırlık varsa $q_i$ sonra ağırlıklı toplamıdır $\sqrt{\sum_i x_i^2 q_i}$ de geçerli bir kuraldır. Ayrıca, eğer$q_i$olasılıkları veE[x]≡∑ixiqi=0ise standart sapmadır.$\operatorname{E}[\mathbf{x}] \equiv \sum_i x_i q_i = 0$

Sonsuz boyut olgusu:

Sonsuz boyutlu Hilbert Space biz benzer tanımlayabilir $L_2$ normunu :

Eğer $X$ ortalama sıfır rasgele değişken ve $P$ olasılık ölçüsü ise, standart sapma nedir? Aynı: $\sqrt{\int_\omega X(\omega)^2 dP(\omega) }$ .

Özet:

Karekök almak demektir standart sapma tatmin yapar mutlak homojenlik , bir bir norm gerekli özelliğini .

Rastgele değişkenin bir boşluk üzerine $\langle X, Y \rangle = \operatorname{E}[XY]$ bir bir iç çarpım ve $\|X\|_2 = \sqrt{\operatorname{E}[X^2]}$ , iç ürünün sebep olduğu bir norm. Bu nedenle standart sapma, parçalara

(Teknik nokta: √ iken$\sqrt{\operatorname{E}[X^2]}$ bir norm, standart sapma$\sqrt{\operatorname{E}[(X - \operatorname{E}[X])^2]}$ bir için bir gereklilik nedeniyle, genel olarak rasgele değişkenler üzerinde bir norm değilnormlu vektör alanıolan$\|x\| = \mathbf{0}$ancak ve ancak$x = \mathbf{0}$. 0 standart sapması, rasgele değişkenin sıfır elemanı olduğu anlamına gelmez.)

Varyans olarak tanımlanır V ( X ) = E ( x - D ( x ) ) 2 , bu X ve beklenen değer arasında bir karesi alınmış farkın bir beklenti yani.$X$$V(X) = E(X-E(X))^2$

$X$$X-E(X)$$V(X)$$\mbox{seconds}^2$$\sqrt{V(X)}$

Basit cevap, birimlerin ortalama ile aynı ölçekte olmasıdır. Örnek: Ortaokul öğrencisi için ortalamanın 20 cm standart sapma (SD) ile 160 cm olduğunu tahmin ediyorum. SD ile olan değişimi anlamak , sezgisel olarak 400 cm ^ 2 değişkeninden daha kolaydır.

Daha basit bir ifadeyle standart sapma, bize verilerimizin ortalamaya yayılmasıyla ilgili bir şeyler söyleyen pozitif bir sayı vermek için tasarlanmıştır.

Tüm noktaların uzaklıklarını ortalamanın sadece toplamına eklersek, pozitif ve negatif yönlerdeki noktalar ortama doğru geri çekilecek şekilde birleşir ve dağılım hakkında bilgi kaybederiz. Bu nedenle ilk önce varyansı ölçüyoruz, böylece tüm mesafeler kareler yoluyla pozitif miktarlar olarak korunur ve birbirlerini iptal etmezler. Sonunda, başladığımız birimleri temsil eden pozitif bir değer istiyoruz - bu zaten yukarıda yorumlandı - bu yüzden pozitif karekökü alıyoruz.

Entelektüel tembellik nedeniyle devam ettiğimiz tarihi bir aptallık. Eksi işaretinden kurtulmak için ortalamadan farkları belirlemeyi seçtiler. Sonra, karekökü aldılar ve ortalamaya benzer bir ölçeğe getirdiler.

Birisi ortalamadan sapma modül veya mutlak sapma değerleri kullanarak yeni istatistikler, hesaplama varyansı ve SD üretmelidir. Bu, bütün bu karelerden kurtulur ve daha sonra karekök işini yapar.