Ortalama değer paradoksu - Buna ne denir?

Veri setim var. gözlem ve değişken söyleyin :$10$$3$

obs  A   B   C
1    0   0   1
2    0   1   0
3    1   0   1
4    1   1   0
5    1   0   1
6    1   0   0
7    1   1   0
8    0   0   1
9    0   1   1
10   0   1   1

Diyelim ki, her kategoride ( ) satın alan ( ) olan (olmayan ) müşteri . Orada var, bu yüzden bu müşteri ortalama ürün kategorisine giriyor .$10$10A, B, C$16$$10$$1.6$

Müşterilerin birden fazla A, B ve C satın alabileceğini unutmayın.

Satın sadece edenler bakarsak A, orada içine almış müşteriler o yüzden ürün kategorileri, ortalama.$5$$9$$1.8$

Bolduğu tekrar veya .$9/5$$1.8$

Cbir$10/6 = 1.67.$

Hepsi$1.6.$

Bu garip görünüyor. Bunu anlıyorum ama bunu gelecek hafta pazarlamaya açıklamamız gerek ve bu yüzden yardıma ihtiyacınız var!

Bu şeye ne denir?

Simpson'un paradoksu olmadığını biliyorum. Bana göre Monty Hall problemine ve koşullu olasılığa mantıklı geliyor.

Alt kategoriler daha büyük müşterilerle çakışırsa, her alt kategorinin ortalaması, genel ortalamanın üstünde olabilir.

Sezgi kazanmak için basit bir örnek:

• edelim bireysel kategori A'da bir öğe satın alıp almadığını bir göstergesi olabilir$A$
• Let bireysel kategori B'de bir öğeyi satın alıp almadığını bir göstergesi olabilir$B$
• Let alınan öğelerin sayısı olsun.$X = A + B$

Bireylerin kümesi gerçek örtüşür bireylerin kümesi olan B doğrudur. Bunlar DEĞİL ayrık kümeler.$A$$B$

Sonra , E [ X ∣ A ] = 1.5 ve E [ X ∣ B ] = $\operatorname{E}[X] \approx 1.33$$\operatorname{E}[X \mid A] = 1.5$$\operatorname{E}[X \mid B] = 1.5$

Doğru olacak ifade:

Basitçe adını adını hesaplayamazsınız , çünkü ve üst üste biner kim öğesi hem satın ve !$P(A)\operatorname{E}[X\mid A] + P(B)\operatorname{E}[X\mid B]$$A$$B$$A$$B$

İllüzyon / paradoks ismi?

Bunun , sosyal ağlardaki çoğunluk illüzyon paradoksuyla ilgili olduğunu iddia ediyorum .

Herkesi ağlayan / arkadaş eden tek bir arkadaşın olabilir. Bu kişi genel olarak milyonda bir kişi olabilir, ancak her kişinin arkadaşlarından biri olacak.$k$

Benzer şekilde, burada hem A hem de B kategorisini satın alan üçte biriniz var. Ancak, A veya B kategorilerinde 2 alıcıdan 1 tanesi süper alıcıdır.

Aşırı zor vaka:

Haydi loto bileti ayarlayalım. Her set S i kaybeden bir bilet: iki bilet içermektedir i ve ikramiye kazanan bilet.$n$$S_i$$i$

Her grubu ortalama kazanç daha sonra $S_i$ buradaJikramiyedir. Her kategorinin ortalamayolbilet genel ortalama kazanç üzerinde$\frac{J}{2}$$J$ .$\frac{J}{n+1}$

Satış davasıyla aynı kavramsal dinamik. Her set her kategori A, B veya C ağır satınalmacılar içerdiğini aynı şekilde ikramiye bileti dahildir.$S_i$

Benim alt çizgi noktası temelinde, bu sezgi olacağını ayrık setleri, örnek uzayın tam bölüm yok değil , bir dizi taşınamaz örtüşen setleri. Örtüşen kategorileri şart koşarsanız, her kategori ortalamanın üzerinde olabilir.

Eğer varsa bölüm ayrık setlerinde örnek alan ve durumunu, daha sonra kategoriler genel ortalamaya ortalama dışarı lazım ama bu setleri örtüşen için doğru değil.

Buna aile boyu paradoksunu ya da benzeri bir şey diyebilirim.

$2$

• $2$
• $\frac{2}{1-e^{-2}} \approx 2.313$
• $3$

Gerçek demografik ve anket sayıları farklı sayılar üretse de benzer modeller oluşturur

Belirgin paradoks, bireylerin kardeş gruplarının ortalama büyüklüğünün aile başına düşen ortalama çocuk sayısından daha büyük olmasıdır; istikrarlı nüfus dinamikleri ile, insanlar ortalama olarak ebeveynlerine göre daha az çocuğa sahip olma eğilimindedir.

Açıklama, ortalamanın ebeveynler ve aileler için mi yoksa kardeşler üzerinden mi alındığıdır: Büyük ailelere uygulanan farklı ağırlıklar vardır. Örnekte, bireyler veya satın alımlarla ağırlıklandırma arasında bir fark vardır; Koşullu ortalamalarınız, belirli bir satın alma işleminde şart koşmanız nedeniyle artırılır.

Diğer cevaplar neler olup bittiğini çok fazla düşünüyor. Bir ürün ve iki müşteri olduğunu varsayalım. Biri ürünü (bir kez) satın aldı, biri almadı. Satın alınan ortalama ürün sayısı 0,5'tir, ancak yalnızca ürünü alan müşteriye bakarsanız, ortalama 1'e yükselir.

Bu bana bir paradoks gibi gelmiyor ya da bana karşı geliyor; Bir ürünün satın alınmasında koşullandırma, genellikle satın alınan ortalama ürün sayısını artıracaktır.

Bu sadece gizlenmiş "ortalamaların ortalaması" karmaşası değil midir (örneğin önceki yığın değiştirme sorusu )? Baştan çıkarıcınız, alt örnek ortalamalarının, nüfus ortalamasına göre ortalama olarak bitmesi gerektiği görünüyor, ancak bu nadiren gerçekleşecek.

Klasik "ortalamaların ortalaması" nda, birisi birbirini dışlayan N alt gruplarının ortalamasını bulur ve daha sonra bu değerlerin, nüfus ortalamasının ortalaması olmadığını gösterir. Ortalamaların ortalamasının tek yolu örtüşmeyen alt kümelerinizin aynı boyutta olmasıdır. Aksi takdirde, ağırlıklı bir ortalama almanız gerekir.

Sorununuz üst üste binen alt kümeleriyle bu ortalama ortalamanın karışıklığından daha karmaşık bir hal alıyor, ancak bana bir bükülme ile bu klasik hata gibi geldi. Örtüşen alt kümelerle, nüfus ortalamasına göre ortalama olan alt örnek ortalamalarıyla sonuçlanmak daha da zordur.

Örneğinizde, birden fazla alt örnekte görünen (ve bu nedenle birçok şey satın almış olan) kullanıcılar bu ortalamaları artıracaklardır. Temel olarak, her bir büyük harcama yapan kişiyi birden çok kez sayıyorsunuz, yalnızca bir maddeyi satın alan tutumlu insanlara yalnızca bir kez rastlanıyorsunuz, bu yüzden daha büyük değerlere önyargılısınız. Özel alt gruplarınızın ortalama değerlerin üzerinde olmasının nedeni budur, ancak bunun hala sadece "ortalamaların ortalaması" sorunu olduğunu düşünüyorum.

Alt örnek ortalamalarının farklı değerler aldığı verilerden her türlü diğer alt kümeleri de oluşturabilirsiniz. Örneğin, alt kümelerinize biraz benzer alt kümeler alalım. A almayan insanların alt kümesini alırsanız, ortalama 7/5 = 1.4 öğe alırsınız. B satın almayan alt kümeyle, ayrıca ortalama 1.4 öğe elde edersiniz. Olanlar vermedi satın C, ortalama olarak 1,5 öğeleri satın aldı. Bunların hepsi 1,6 ürün / müşteri nüfusunun altında. Doğru veri kümesi ve doğru alt grup koleksiyonu göz önüne alındığında, ortalamaları nüfus ortalaması ortalaması olan örtüşen alt kümelerle sonuçlanabilir; Ancak, normal uygulamalarda bu nadir görülür.

Sadece benim mi, yoksa ortalama kelime artık birçok tekrardan sonra garip görünüyor mu ... Cevabımın yardımcı olacağını umarım ve ortalama kelimeyi mahvetmişsem özür dilerim!

Mesele " Bunu anlıyorum ama bunu pazarlamaya açıklamalıyım " olduğu için OP, bir meslekten olmayan kişinin bu gerçekleri nasıl yorumlayacağıyla ilgileniyor gibi görünüyor - (gerçeklerin doğru olup olmadığı ya da nasıl olduklarını göstermeyerek). Soru, 10 ürün kategorisine (AJ) atıfta bulunuyor, peki bu örnek:

[pazarlama grubuyla toplantıda]
OP : Burada gördüğünüz gibi , A, B ve C satın alan müşterilerin hepsi ortalamadan daha değerli.
Layman : Bekle ?! Herkes ortalamadan daha yüksek nasıl olabilir?
OP : Güzel soru. Bu slayt A, B ve C müşterileri üzerinde durur, ancak gösterilmeyen diğer düşük performans grupları da vardır. Örneğin, D ve G kategorilerinin müşterileri her birinin ortalamasının yaklaşık yarısı kadardır.

Bu, herkesin dahili bs-alarmını 'her şeyin ortalamanın üzerinde olduğu' şeklinde ifade etmelidir.

Buradaki diğer cevapları yoksay. Bu aslında bir paradoks değil . Eldeki herkesin görmezden geldiği görünen asıl mesele, aslında hangi olasılıkla bakıyorsunuzdur. Aslında, burada, oyunda, önerilen örneğinizde (pazarlama) kendi kullanımları ve yorumları olan iki farklı ortalamalar ve istatistikler var!

Öncelikle, müşteri başına satın alınan ortalama ürün sayısı var. Yani ortalama olarak, bir müşteri 1,6 ürün satın alıyor. Elbette, bir müşteri ürünün 0,6'sını (ancak bununla ilişkili sürekli bir ölçümü olan pirinç veya tahıl gibi bir şey olmadığını varsayarsak) yapamaz.

İkincisi, belirli bir ürünü satın alan ortalama müşteri sayısıdır. Sesler garip değil mi? Yani ortalama olarak bir ürünün 5.33333333 ... müşterisi satın alıyor. Ancak bu farklı. Burada tarif ettiğimiz şey, satın alınan ürün sayısı değil (yalnızca üçü var!), Daha ziyade, söz konusu ürünü satın alan kişi sayısı.

İki değeri şu şekilde düşünün: Bu iki değer, yalnızca bir müşteri mi yoksa tek bir ürün olsaydı neyi temsil ederdi? Sonuçta, tek bir veri noktasının ortalaması sadece verilen veri noktasıdır.

Ya da daha iyisi, tabloyu size ürünü satın almak için harcadığınız para miktarını veriyormuş gibi düşünün. Açıkçası, bireysel bir müşteri tarafından harcanan ortalama miktar, büyük bir şirketin (veya sadece küçük bir işletmenin) sağladığı bir ürünün ortalama olarak kazandığı para miktarından çok daha az olacaktır. Şirketin refahını tartışırken her iki değeri de kullanmanın iyi yollarını düşünebileceğinizden eminim.

Bunu pazarlama ekibine anlatmaya gittiğinde, söylediğim gibi onlara açıkla. Bu bir paradoks değil. Sadece tamamen farklı bir istatistik. Buradaki tek sorun aslında grafiği okumak için iki farklı yol olduğunun fark edilmesiydi (yani, ürün başına satın alan kişi sayısı - kişi başına satın alınan ürün sayısı).

Tanımladığınız ilk şey, tek bir müşterinin ürünlerinizi satın almak için harcamak istediği ortalama miktardır. İkincisi, halk tarafından verilen bir ürün için ortalama talep. Eminim şimdi neden ikisinin de kesinlikle aynı şey olmadığını görebiliyorsunuz. Bunları böyle karşılaştırmak size sadece çöp bilgisi verecektir.

DÜZENLE

Asıl soru, aslında bir ürün a, b veya c satın alan müşteriler tarafından harcanan ortalama parayı soruyor gibi görünmektedir. Peki. Bu aslında hesaplamalarda sadece bir hatadır. Buna paradoks demezdim. Bu gerçekten sadece ince bir şüphe.

Sütunlarına bak. Sütunlar arasında paylaşılan insanlar var. Let Diyelim ki uygun yaptığını varsayalım ağırlıklı ortalama. Hala insanları iki kere ekliyorsun. Bu, ortalamanın 2'den büyük veya ona eşit bir değeri olan fazladan insanlar içereceği anlamına gelir. Şimdi ortalamanız nasıldı? 1.6 oldu! Temelde ortalamanız şöyle görünür:

$\frac {\sum_{i = 0}^{n} valueOfPerson_i*valueOfPerson_i} {n}$

Bu kesinlikle doğru formül değil. Durumunuzda gerçek bir ortalama elde etmek için nasıl ayarlayacağınız konusundaki karşılıklı münhasırlığı varsayarsak, ağırlıklı bir ortalamadır.

$\frac {\sum_{i = 0}^{n} numberOfPeopleBuying_i*averageSpentByPersonBuying_i} {n}$

Her iki durumda da berbat bir ortalama elde edersiniz. Bir hata, bir kategorinin ortalama olarak daha büyük bir "ağırlık" içerdiğinden ağırlıklı ortalamaya olan ihtiyacı görmezden geliyordu. Yoğunluk gibi. Bir değeri insanlar temsil eden daha yoğun. Diğer sorun, ortalamayı çarpıtacak olan yinelenen eklemedir. Yine de bu "paradokslar" demiyorum. Ne yaptığını gördükten sonra, neden işe yaramayacağını bana açıkça gösteriyordu. Ağırlıklı ortalama, ihtiyacı için biraz açıklayıcıdır ve bence şimdi, işe yaramayan değerleri defalarca eklediğinizi görüyorsunuz. Temelde onların değerlerinin karelerinin ortalamasını aldınız.