Aynı n, tüm olası k değerleri ile kombinasyonların toplamını basitleştirin

Bu denklemi basitleştirmenin bir yolu var mı?

(\binom{8}{1}) + (\binom{8}{2}) + (\binom{8}{3}) + (\binom{8}{4}) + (\binom{8}{5}) + (\binom{8}{6}) + (\binom{8}{7}) + (\binom{8}{8})

$\dbinom{8}{1} + \dbinom{8}{2} + \dbinom{8}{3} + \dbinom{8}{4} + \dbinom{8}{5} + \dbinom{8}{6} + \dbinom{8}{7} + \dbinom{8}{8}$

Veya daha genel olarak,

\sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k})

$\sum_{k=1}^{n}\dbinom{n}{k}$

combinatorics

— Idr
kaynak

Bir dondurma dükkanı , aromalandırılmamış dondurma üretmekte ve daha sonra mağazada satışa sunulan çeşitli dondurmaları oluşturmak için 5 lezzet konsantresinden (vanilya, çikolata, şekerleme, nane, jamoca) birini veya daha fazlasını ekler . Farklı tatların sayısı

\sum_{k = 1}^{5} (\binom{5}{k})

$\sum_{k=1}^5 \binom{5}{k}$ . Tatların sayısını elle hesaplamayı deneyin. Ekstra kredi için mağazayı tanımlayın.

— Dilip Sarwate

Yanıtlar:

Görmek

http://en.wikipedia.org/wiki/Combination#Number_of_k-combinations_for_all_k

diyor ki

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n}

$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$

Bunu olan binom teoremini kullanarak kanıtlayabilirsiniz . $x=y=1$

Şimdi, herhangi bir için için , $\binom{n}{0} = 1$ $n$

\sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n} - 1

$\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} = 2^n - 1$

Durumunuzda , yani cevap . $n=8$ $2^8 - 1 = 255$

— Makro
kaynak

Teşekkürler. Bir regresyon için tüm olası girdi özellikleri kümelerini anlamaya çalışıyordum, bu yüzden zihnim istatistiklerle başlıyor ama sanırım bu soru kendi başına istatistik değil.

— Idr

Sorun değil. Lütfen yararlı bulduğunuz cevapları almayı ve / veya kabul etmeyi düşünün :)

— Macro

Elbette. Ayrıca inanıyorum ki ben senin k's olmalı.

— Idr

haklısın.

— Makro

Bunu görmenin kolay bir yolu: her elemanı (1) alıp almayacaksınız (0). Böylece tüm ikili sayıyı n bit ile temsil edebilirsiniz: 2 ^ n. Ve bu, bir öğenin kaldırıldığı tüm kombinasyonlar, artı 2 öğenin kaldırıldığı tüm kombinasyonlar vb. Anlamına gelir. = C toplamı (k / N).

— Snicolas

Ev ödevi?

İpucu:

Binom teoremini hatırlayın:

(x + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} y^{n - k}

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^ky^{n-k}$

Şimdi, x ve y'yi bulabilirseniz, sabit olur ... $x^ky^{n-k}$

— Erik
kaynak