Üstel rasgele değişkenlerin toplamı, parametrelerle karıştırılan Gamma'yı takip eder

Üstel rasgele değişkenlerin toplamının Gamma dağılımını takip ettiğini öğrendim.

Ama okuduğum her yerde parametreler farklı. Örneğin, Wiki ilişkiyi açıklar, ancak parametrelerinin gerçekte ne anlama geldiğini söylemiyor musunuz? Şekil, ölçek, oran, 1 / oran?

Üstel dağılım: $x$ ~ $exp(\lambda)$

f (x | λ) = λ e^{- λ x}

$f(x|\lambda )=\lambda {{e}^{-\lambda x}}$

E [x] = 1 / λ

$E[x]=1/ \lambda$

v a r (x) = 1 / λ^{2}

$var(x)=1/{{\lambda}^2}$

Gama dağılımı: $\Gamma(\text{shape}=\alpha, \text{scale}=\beta)$

f (x | α, β) = \frac{1}{β^{α}} \frac{1}{Γ (α)} x^{α - 1} e^{- \frac{x}{β}}

$f(x|\alpha ,\beta )=\frac{1}{{{\beta }^{\alpha }}}\frac{1}{\Gamma (\alpha )}{{x}^{\alpha -1}}{{e}^{-\frac{x}{\beta }}}$

E [x] = α β

$E[x]=\alpha\beta$

v a r [x] = α β^{2}

$var[x]=\alpha{\beta}^{2}$

Bu ayarda $\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}}$ nedir? Doğru parametrelendirme ne olurdu? Bunu ki-kareye genişletmeye ne dersiniz?

distributions probability gamma-distribution

— edwin
kaynak

Kaba ve hazır bir kural olarak, olasılıkçılar ortalama

ile bir Gama dağılımını belirtmek için

kullanma eğilimindedir

Γ (t, λ)

$\Gamma(t,\lambda)$

(yani,

\frac{t}{λ}

$\frac{t}{\lambda}$

istatistik uzmanları kullanma eğilimi ise

ortalama ile bir Gamma rastgele değişken belirtmek için

değil,

sahip olduğunuz şekilde. Wikipediaher iki sözleşmeyi de açıklar.

f (x) = \frac{λ}{Γ (t)} \cdot (λ x)^{t - 1} \exp (- λ x) 1_{(0, \infty)}

$f(x) = \frac{\lambda}{\Gamma(t)}\cdot (\lambda x)^{t-1}\exp(-\lambda x)\mathbf 1_{(0,\infty)}$

Γ (α, β)

$\Gamma(\alpha,\beta)$

α β

$\alpha\beta$

α / β

$\alpha/\beta$

— Dilip Sarwate

üzgünüm, haklısın.

— edwin

İki ipucu: 1. boyutsal tutarlılık ile kontrol etmeyi unutmayın. (örn., parametre

aynı boyutluluğuna mı, yoksa karşılıklı ...?) 2. Burada gama parametresi bir tamsayı olduğundan, düz faktörleri ve Erlang dağılımını ( Elbette, aynı)

x

$x$

— leonbloy

@edwin Ortalama ve sapma ifadelerini düzeltmek için lütfen sorunuzu düzenleyin.

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate düzenlendi!

— edwin

Yanıtlar:

bağımsız Gamma rasgele değişkeninin toplamı bir Gamma rasgele değişkeni dır . Tüm rasgele değişkeni aynı ikinci parametreye sahip olduğu sürece, ikinci parametrenin ne anlama geldiği (ölçeğin veya ölçeğin tersi) önemli değildir . Bu fikir kolaylıkla uzanan Gama rastgele değişken özel bir durumu olan rastgele değişken. $n$ $\sim \Gamma(t_i, \lambda)$ $\sim \Gamma\left(\sum_i t_i, \lambda\right)$ $n$ $\chi^2$

— Dilip Sarwate
kaynak

Beni şaşırtan şey, bazı kitapların

yazması , burada

oran, diğerleri ise 1 / oran demekti. Tutarlı bir gösterim var mı? Pdf'yi görmedikçe, ne anlama geldiğini bilmiyorum.

e x p (λ)

$exp(\lambda)$

λ

$\lambda$

— edwin

Bunun kafa karıştırıcı olduğunu düşünüyorsanız, normal rastgele değişkenlerle karşılaşana kadar bekleyin. Vardır , en az üç farklı yorumlar ve

İstatistikçiler kullanan.

X \sim N (μ, s)

$X \sim N(\mu,s)$

— Dilip Sarwate

lol, bu sadece konuyu incelemek isteyen masum ruhları mahvediyor. Şahsen bunun yazarın adına kötü yazılmış olduğunu düşünüyorum, aynı zamanda yanlış şeyleri tespit etme yeteneğini uyarlamam gerektiğine katılıyorum. Ama yine de, bebek adımlarını attığımda değil.

— edwin

Ah, diğer sorunun cevabının yazarı olarak, cevabın kötü yazılmış olduğunu düşündüğünüz için hayal kırıklığına uğradım. Geliştirmek için öneriler en açıktır.

— Dilip Sarwate

Bağlantınızdan bahsetmiyorum.

— edwin

Toplamı ölçeği ile üstel dağılımları IID (kuru gamma dağıtılmış şeklinde) ve ölçek (kuru ). $n$ $\theta$ $\theta^{-1}$ $n$ $\theta$ $\theta^{-1}$

— Neil G
kaynak

gama dağılımı, üstel dağılımın gama dağılımının temelini oluşturduğu üstel dağılımdan yapılmıştır. Daha sonra ise Elimizdeki , sürece bütün olarak bağımsızdır. $f(x|\lambda)=\lambda e^{−\lambda x}$ $\sum_n x_i \sim \text{Gamma}(n,\lambda)$ $X_i$

f (x | α, β) = \frac{β^{α}}{Γ (α)} \cdot x^{α - 1} \cdot e^{- x β}

$f(x|\alpha,\beta)=\frac{\beta^α}{\Gamma(\alpha)} \cdot x^{\alpha−1} \cdot e^{−x\beta}$

— hasanmisaii
kaynak

I formatted the maths part of your answer. Please check if this is still what you wanted to express.

— Andy

Your assertion

\sum x_{i} \sim Gamma (n, λ)

$\sum x_i \sim \text{Gamma}(n,\lambda)$ is incorrect unless you qualify it by insisting that the

x_{i}

$x_i$ are independent random variables.

— Dilip Sarwate