İlişkili Bernoulli denemeleri, çok değişkenli Bernoulli dağılımı?

İş yerinde bir araştırma sorusunu basitleştiriyorum. 5 bozuk param olduğunu hayal edelim ve haydi başkanlara bir başarı diyelim. Bunlar başarı olasılığı çok olan Ç = önyargılı paralardır p = 0.1. Şimdi, sikkeler bağımsız olsaydı, en az 1 kafa veya daha fazla olasılık elde etmek çok basit, . Senaryomda, Bernoulli davalarım (bozuk para) bağımsız değil. Erişebildiğim tek bilgi başarı olasılığı (her biri p = .1) ve ikili değişkenler arasındaki teorik Pearson korelasyonlarıdır.$1-(1-1/10)^5$

Bir başarı veya daha fazlasının olasılığını sadece bu bilgilerle hesaplamanın herhangi bir yolu var mı? Simülasyon tabanlı bir yaklaşımdan kaçınmaya çalışıyorum çünkü bu teorik sonuçlar bir simülasyon çalışmasının doğruluğunu yönlendirmek için kullanılacak. Çok değişkenli Bernoulli dağılımını inceliyorum ama sadece korelasyonlar ve marjinal başarı olasılıkları ile tam olarak belirleyebileceğimi sanmıyorum. Bir arkadaşım bernoulli marjinaller ile bir Gauss kopula inşa etmeyi (R paketini kullanarak copula) ve daha sonra pMvdc()istediğim olasılığı elde etmek için işlevi büyük bir örnek üzerinde kullanmasını önerdi , ancak bununla nasıl başlayacağından tam olarak emin değilim.

Hayır, üç veya daha fazla jetonunuz olduğunda bu mümkün değildir.

İki bozuk para vakası

İlk önce neden iki madeni para için işe yaradığına bakalım, çünkü bu daha fazla madeni para için neyin bozulduğuna dair bir sezgi sağlıyor.

ve , Bernoulli'nin iki duruma karşılık gelen , değişkenlerini ifade etsin . İlk olarak, korelasyon olduğunu hatırlamak ve ise$X$$Y$$X \sim \mathrm{Ber}(p)$$Y \sim \mathrm{Ber}(q)$$X$$Y$

$$\mathrm{corr}(X, Y) = \frac{E[XY] - E[X]E[Y]}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)\mathrm{Var}(Y)}},$$

ve marjinalleri bildiğiniz için, , , ve biliyorsunuz, bu yüzden korelasyonu bilerek . Şimdi, , ancak ve ancak, eğer her ikisi de ve , bu nedenle $E[X]$$E[Y]$$\mathrm{Var}(X)$$\mathrm{Var}(Y)$$E[XY]$$XY = 1$$X = 1$$Y = 1$

$$E[XY] = P(X = 1, Y = 1).$$

Marjinalleri bilerek, ve . Biz sadece bildiğine göre tespit yana , ayrıca biliyoruz ki bu araçlar ve , ama şimdi' aradığınız olasılık, aradığınız olasılık$p = P(X = 1, Y = 0) + P(X = 1, Y = 1)$$q = P(X = 0, Y = 1) + P(X = 1, Y = 1)$$P(X = 1, Y = 1)$$P(X = 1, Y = 0)$$P(X = 0, Y = 0)$

$$P(X = 1, Y = 0) + P(X = 0, Y = 1) + P(X = 1, Y = 1).$$

Şimdi, kişisel olarak tüm bunları bir resim ile daha kolay görüyorum. Let . O zaman çeşitli olasılıkları bir kare oluştururken hayal edebiliriz:$P_{ij} = P(X = i, Y = j)$

Burada, korelasyonları bilmenin çıkarabileceğinizi , kırmızı işaretli olduğunuzu ve marjinalleri bilerek her bir kenarın (biri mavi bir dikdörtgenle gösterilen) toplamını bildiğinizi gördük .$P_{11}$

Üç bozuk para

Bu üç madeni para için kolay olmayacak; sezgisel olarak nedenini görmek zor değil: Marjinalleri ve korelasyonu bilerek, toplam parametresini biliyorsunuz , ancak eklem dağılımının sonucu var, ancak bunların olasılıklarını bilerek , sonuncusunu anlayabilirsiniz; Şimdi, , bu yüzden marjinalleri ve korelasyonları aynı olan iki farklı eklem dağılımını pişirebileceği ve aradığınızlar farklı olana kadar olasılıklara izin verebileceği makul görünmektedir.$6 = 3 + 3$$2^3 = 8$$7$$7 > 6$

Let , ve üç değişken olabilir ve izin$X$$Y$$Z$

$$P_{ijk} = P(X = i, Y = j, Z = k).$$

Bu durumda, yukarıdaki resim aşağıdaki hale gelir:

Boyutlar bir tane çarptı: Kırmızı tepe birkaç renkli kenar haline geldi ve mavi bir dikdörtgenin kapladığı kenar tüm bir yüz haline geldi. Burada mavi düzlem, marjinali bilerek, içindeki olasılıkların toplamını bildiğinizi gösterir; resimdeki için,

$$P(X = 0) = P_{000} + P_{010} + P_{001} + P_{011},$$

ve benzer şekilde küp içindeki diğer tüm yüzler için. Renkli kenarlar, korelasyonları bilerek, kenara bağlı iki olasılığın toplamını bildiğinizi gösterir. Örneğin, bilerek , biliyor (tam olarak yukarıdaki gibi), veE [ X Y $\mathrm{corr}(X, Y)$$E[XY]$

$$E[XY] = P(X = 1, Y = 1) = P_{110} + P_{111}.$$

Bu, olası eklem dağılımlarına bazı sınırlamalar getirir, ancak şimdi egzersizi bir küpün köşelerine sayı koymanın kombinasyonel uygulamasına indirdik. Daha fazla uzatmadan, marjinalleri ve korelasyonları aynı olan iki ortak dağılım sağlayalım:

Burada, bir olasılık dağılımı elde etmek için tüm sayıları bölün . Bu çalışmaların ve aynı marjinallere / korelasyonlara sahip olduklarını görmek için, her bir yüzdeki olasılıkların toplamının (değişkenlerin ) ve toplamlarının renkli kenarlardaki köşeler her iki durumda da aynıdır (bu özel durumda, tüm korelasyonlar aslında aynıdır, ancak genel olarak durum böyle olmak zorunda değildir).1 / 2 B e r ( 1 / 2 $100$$1/2$$\mathrm{Ber}(1/2)$

Son olarak, en az bir kafa, ve elde etme olasılıkları, kanıtlamak istediğimiz iki vakada farklıdır. 1 - P ′ $1 - P_{000}$$1 - P_{000}'$

Benim için, bu örnekleri bulmak, bir örnek üretmek için küp üzerine sayılar koymak ve daha sonra sadece üzerinde değişiklik yapmak ve değişikliklerin yayılmasına izin vermek için geldi.$P_{111}$

Düzenleme: Bu, aslında sabit marjinallerle çalıştığınızı ve her değişkenin olduğunu bildiğiniz nokta , ancak yukarıdaki resim mantıklıysa, ince ayar yapmak mümkündür istediğiniz marjinallere ulaşana kadar.$\mathrm{Ber}(1/10)$

Dört veya daha fazla jeton

Son olarak, üçten fazla jetonumuz olduğunda, başarısız örnekleri örneklendirebilmemiz şaşırtıcı olmamalı, çünkü artık eklem dağılımını tanımlamak için gerekli parametre sayısı ile marjinaller tarafından bize sağlananlar arasında daha büyük bir tutarsızlık ve korelasyonlar.

Somut olarak, üçten büyük herhangi bir jeton için, ilk üç jetonu yukarıdaki iki örnekte olduğu gibi ve son iki jetonun sonuçlarının diğer tüm jetonlardan bağımsız olduğu örnekleri düşünebilirsiniz.

İlişkili Bernoulli denemeleri, sayılan sonuçlar için beta-binom dağılımına yol açar. Belirtilen bir korelasyon değeri vermek için bu dağılımı parametreleştirmek ve daha sonra istediğiniz olasılığı hesaplamak mümkün olmalıdır.