Regresyon katsayısının çok değişkenli normal dağılımı?

Regresyon üzerine bir ders kitabı okurken aşağıdaki paragrafla karşılaştım:

Bir doğrusal regresyon katsayıları ( ) vektörünün en küçük kareler tahmini $\beta$

$\hat{β} = (X^{t} X)^{- 1} X^{t} y$ $\hat{\beta} = (X^{t}X)^{-1}{X^t}y$
ki bu, verisinin bir fonksiyonu olarak görüldüğünde ( yordayıcılarını sabit olarak dikkate alarak ), verilerin doğrusal bir kombinasyonudur. Merkezi Limit Teoremini kullanarak, örnek büyüklüğü büyükse dağılımının yaklaşık çok değişkenli normal olacağı gösterilebilir . $y$ $X$ $\beta$

Kesinlikle metinden bir şey eksik, ama tek bir değeri nasıl bir dağıtım olabilir anlayamıyorum ? Metinde atıfta bulunulan dağıtımı elde etmek için çoklu değerleri nasıl oluşturulur? $\beta$ $\beta$

multiple-regression

— upabove
kaynak

regresyon katsayılarının vektörü - bu karışıklığı giderir mi?

β

$\beta$

— Makro

En küçük kareler yaklaşımını kullanırken,

sabit olduğunu ancak bilinmediğini varsayarsınız . Bununla

bu (rasgele) bir veri fonksiyonu olduğundan, bir dağılımına sahiptir. Asimptotik olarak dağılım normal dağılımdır. Asemptotik olmayan bir şekilde, bireysel bir katsayı dağılımda olacaktır.

β

$\beta$

\hat{β}

$\hat{\beta}$

— Taylor

regresyon ayarında sabit bir matris olarak kabul edildiğini ve

bir (vektör değerli) rastgele değişkenin gerçekleştirildiğini gözlemlemeye yardımcı olabilir . Bununla birlikte, CLT ile ilgili bu biraz doğru değil: ya bazen büyük veri kümelerinde bile gerçekte olmayan belirli bir yapıya sahip olan

dayanıyor , ya da

kendisi çok değişkenli normal (ama sonra gerek yok) CLT'yi çağırınız).

H = (X^{t} X)^{- 1} X^{t}

$H = (X^tX)^{-1}X^t$

y

$y$

H

$H$

y

$y$

— whuber

@Taylor Ama bildiğim tek şey "örnek boyutu büyük" ise B dağılımını nasıl biliyorsunuz?

— upabove

@Taylor Beta aşısının bireysel bileşeni, sadece regresyon modelindeki hata bileşiği Gaussian ise 0 ortalama ve sabit varyans ile dağıtılacaktır. Normal olmayan durumda, sıfır hipotezi altındaki dağılımını mutlaka bilmezsiniz, ancak yine de asemptotik olarak normal olabilir. Bununla birlikte, whuber belirttiği gibi, merkezi limit teoremi tutamayabilir çünkü ağırlıklı bir ortalamadır ve ağırlıkların, birkaç terimin toplamı domine etmesine izin verecek şekilde örnek büyüklüğü ile değişmediğini bilmemiz gerekir.

— Michael R.Chernick

Değil bir dağılım ama sahiptir Taylor tarafından belirtildiği gibi,. Dağılımı farklı olsun gerçeğinden kaynaklanmaktadır farklı numuneler için .--- Sen tek dayanarak bu dağılımı tahmin edebilir sen dağıtımına ilişkin bazı bilgilere sahip şartıyla senin tek numuneden alınan temel veriler. $\beta$ $\hat\beta$ $\hat\beta$ $\hat\beta$ $\hat\beta$

— user3451767
kaynak