Normal dağılımın ayrıştırılması

Bu dağıtımdan iki bağımsız örneğin farkı normal olarak dağıtılacak şekilde sadece pozitif bir dağılım var mı? Eğer öyleyse, basit bir formu var mı?

distributions probability

— Martin O'Leary
kaynak

İlginç soru! Normal dağılım toplamının dağılımı olarak her zaman yazabilirsin anlamına sonsuz bozunabildiğinden

keyfi bir sayının

rasgele değişkenlerin. Ama soru bu değil.

x_{1} + \dots + x_{n}

$x_1+\ldots+x_n$

n

$n$

— Xi'an

Anı üreten fonksiyona gelirseniz, soru

olup olmadığıdır.

(içinde bir çözelti sağlar

... pozitif değişken bir an üreten fonksiyonudur)

e^{t μ + \frac{1}{2} σ^{2} t^{2}} = φ (t) φ (- t)

$e^{t\mu + \frac{1}{2}\sigma^2t^2}=\varphi(t)\varphi(-t)$

φ

$\varphi$

— Xi'an

Doğru, @Dilip: Yarı normal farkın normal dağılımı yok. Sorun, farkın varyansı ile değil: dağılımın şekli normal değil (basıklığı çok büyük).

— whuber

Bu açık olsa da, ifadenin yaklaşık olarak doğru olduğunu belirtmek gerekebilir . Sonuçta, bir farkı

değişken ve

bir yer alır değişken

seçerek, dağıtım ve

yeterince büyük, biz yapabilir değişkenlerden herhangi birinin istenildiği kadar küçük olması ihtimali.

N (μ, σ^{2} / 2)

$N(\mu,\sigma^2/2)$

N (μ, σ^{2} / 2)

$N(\mu,\sigma^2/2)$

N (0, σ^{2})

$N(0,\sigma^2)$

μ

$\mu$

— whuber

Sorunun cevabı Hayır'dır ve normal dağılımların ünlü bir karakterizasyonundan kaynaklanmaktadır.

ve bağımsız rasgele değişkenler olduğunu varsayalım . Daha sonra ve bağımsız rasgele değişkenleri de vardır ve elbette iki bağımsız rasgele değişkenin toplamı olan olarak yazabiliriz . Şimdi, P. Lévy tarafından tahmin edilen ve H. Cramér tarafından kanıtlanan bir teorem uyarınca (bakınız Feller, Bölüm XV.8, Teorem 1), $X$ $Y$ $X$ $-Y$ $X-Y$ $X + (-Y)$

Eğer ve bağımsız bir rastgele değişkenler ve , normal olarak dağıtılır, daha sonra her iki ve normal olarak dağıtılır. $X$ $Y$ $X+Y$ $X$ $Y$

$X$ $Y$ $X-Y$ $X-Y = X + (-Y)$ $X$ $-Y$

— Dilip Sarwate
kaynak

Biraz cevap evet olacağını umuyordum, ama teşekkürler! Feller'in bir kopyasına kolay erişimim yok - teoremin bir kanıtını çizmek mümkün mü? Oldukça mantıksız görünüyor.

— Martin O'Leary

Feller bile, analitik fonksiyon teorisine dayandığını ve dolayısıyla karakteristik fonksiyonlara yaklaşımından oldukça farklı olduğunu iddia eden orijinal kanıtı içermez.

— Dilip Sarwate

Ben böyle olduğunu düşündüm ama bağımlı değişkenler için kapıyı açar. 2 pozitif yarı normal arasında bağımlılık kurmanın bir yolunu bulmaya çalıştım ama işe yaramadı.

— Michael R.Chernick

belki birileri daha çözmek için daha fazla ilgi

— duymalıydım

Bunu bir soru yapacağım ve sonra cevabınızı heceleyebilirsiniz. Bu eklem yoğunluğunun neye benzediğini tam olarak takip etmiyorum ve Z = | X | - | Y |

— Michael R.Chernick