Manifold nedir?

Temel Bileşen Analizi, LDA vb. Gibi boyutluluk azaltma tekniğinde genellikle manifold terimi kullanılır. Teknik olmayan terim manifoldu nedir? Eğer bir noktası , boyutunu küçültmek istediğim bir alana aitse, ve eğer bir ses ve ve ile ilişkisizse, o zaman gerçek noktalar , gürültü nedeniyle birbirinden çok uzak olacaktır. Bu nedenle, gürültü filtrelemesi gerekli olacaktır. Böylece, boyut küçültme . Bu nedenle, burada ve farklı manifoldlara mı ait?$x$$y$$x$$y$$x$$z = x+y$$x$$y$

Robot vizyonunda sıklıkla kullanılan nokta bulutu verileri üzerinde çalışıyorum; nokta bulutları edinimdeki gürültü nedeniyle gürültülü ve boyut küçültmeden önceki gürültüyü azaltmam gerekiyor. Aksi taktirde yanlış boyut küçültme elde edeceğim. Peki, buradaki manifold nedir ve gürültü, ait olduğu aynı manifoldun bir parçası mı?$x$

Teknik olmayan terimlerle, bir manifold sonlu bir boyuta sahip kesintisiz bir geometrik yapıdır: bir çizgi, bir eğri, bir düzlem, bir yüzey, bir küre, bir top, bir silindir, bir torus, bir "damla" ... bunun gibi bir şey :

Bu "bir eğri" (boyut 1) veya "yüzey" (boyut 2) veya bir 3D nesne (boyut 3) ... herhangi bir sonlu boyut için söylemek Matematikçilerin kullanılan genel bir terimdir . Tek boyutlu bir manifold basitçe bir eğridir (çizgi, daire ...). İki boyutlu bir manifold basitçe bir yüzeydir (düzlem, küre, torus, silindir ...). Üç boyutlu bir manifold bir "tam nesne" dir (top, tam küp, çevremizdeki 3B alan ...).$n$

Noktaları kümesi: bir manifold genellikle bir denklem ile tarif edilir gibi$(x,y)$ tek boyutlu bir manifoldu (daire) 'dir.$x^2+y^2=1$

Bir manifold her yerde aynı boyuta sahiptir. Örneğin, bir küreye (boyut 1) bir çizgi eklerseniz (boyut 2), sonra elde edilen geometrik yapı bir manifold değildir.

Sonlu bir boyut vektör alanı gibi: mt boşluk veya topolojik alan daha genel kavramları da noktaları sürekli bir dizi doğal sezgi tanımlaması amaçlanmaktadır farklı olarak, bir manifold lokal basit bir şey olması amaçlanmıştır . Bu, genellikle geometrik bir somut anlama sahip olmayan soyut uzayları (sonsuz boyut uzayları gibi) dışlar.$\mathbb{R}^n$

Bir vektör uzayının aksine, manifoldlar çeşitli şekillerde olabilir. Bazı manifoldlar kolayca görselleştirilebilir (küre, top ...), bazıları Klein şişesi veya gerçek projektif düzlem gibi görselleştirilmesi zordur .

İstatistiklerde, makine öğrenmesi veya genel olarak uygulamalı matematikte, "manifold" kelimesi genellikle "doğrusal bir alt uzay gibi" ancak büyük olasılıkla eğri olarak söylenir. İstediğiniz zaman şöyle bir doğrusal denklem yazabilirsiniz: doğrusal (afin) bir alt uzay (burada bir düzlem) elde edersiniz. Genellikle, denklem x 2 + 2 y 2 + 3 gibi doğrusal olmadığında$3x+2y-4z=1$, bu bir manifolddur (burada gerilmiş bir küre).$x^2+2y^2+3z^2=7$

Örneğin, ML'nin " manifold hipotezi ", "yüksek boyutlu veri, yüksek boyutlu gürültü eklenmiş düşük boyutlu bir manifolddaki noktalardır" diyor. Bir 2D dairenin noktalarını, bazı 2D gürültülerin eklendiğini hayal edebilirsiniz. Noktalar tam olarak çember üzerinde olmamakla birlikte, denklemini istatistiksel olarak karşılar . Çember temel manifolddur: $x^2+y^2=1$

Bir (topolojik) manifold, olan bir boşluktur :$M$

İçin "(1) "yerel"" eşdeğer $\mathbb{R}^n$ bazıları için .$n$

"Yerel", "eşitlik" ile ifade edilebilir işlevlerini koordine, C i : M → R, birlikte bir "yapı-koruyucu" fonksiyonu oluşturmaktadır, C : E → R$n$$c_i: M \to \mathbb{R}$$c: M \to \mathbb{R}^n$ olarak adlandırılan, grafik .

(2) bir alt kümesi olarak, bir "yapı-koruyucu" bir şekilde gerçekleştirilebilir bazı N ≥ $\mathbb{R}^N$$N \ge n$ . (1) (2)

Burada "yapı" nın kesinleşmesi için, birinin "yerel" davranış ve böylece "yerel olarak" yerel " davranış " gibi kesin kavramlar yapmasına izin veren temel topoloji kavramlarını ( def. ) Anlaması gerektiğine dikkat edin. "Eşdeğer" derken, eşdeğer topolojik yapıyı ( homeomorfik ) ve "yapı koruma" derken aynı şeyi kastediyorum (eşdeğer bir topolojik yapı oluşturur).

Ayrıca manifoldlar üzerinde hesap yapmak için, yukarıdaki iki koşuldan sonra gelmeyen ve temelde “çizelgeler hesap yapmamıza izin verecek kadar iyi davranıldı” gibi bir şey söyleyen ek bir koşula ihtiyaç duyulduğunu unutmayın. Bunlar pratikte en sık kullanılan manifoldlardır. Genel topolojik manifoldların aksine , hesaplamanın yanı sıra , sizin gibi nokta bulut verilerini içeren uygulamalarda çok önemli olan üçgenlemelere de izin verirler .

Bütün insanların bir (topolojik) manifold için aynı tanımı kullanmadığını unutmayın. Birkaç yazar bunu tanımlayacak zorunlu olarak (2) değil, sadece yukarıdaki şartı (1) karşılayacak . Ancak, hem (1) hem de (2) 'yi sağlayan tanım çok daha iyi davranıldığından, uygulayıcılar için daha faydalıdır. Biri sezgisel olarak (1) 'in (2)' yi ima ettiğini bekleyebilir, ancak aslında değildir.

DÜZENLEME: Eğer kesin bir "topoloji" ne olduğu hakkında öğrenme ilgilenen varsa, anlamak için bir topoloji en önemli örneğidir Öklit topoloji ait . Bu, “gerçek analiz” hakkında herhangi bir (iyi) tanıtım kitabında derinlemesine ele alınacaktır .$\mathbb{R}^n$

Bu bağlamda, manifold terimi doğrudur, fakat gereksiz yere yüksek falutindir. Teknik olarak, bir manifold, yeterince pürüzsüz ve sürekli olan (biraz çaba ile matematiksel olarak iyi tanımlanabilecek şekilde) herhangi bir boşluktur (topolojiye sahip noktalar kümesi).

Orijinal faktörlerinizin olası tüm değerlerinin alanını hayal edin. Boyutsal bir küçültme tekniğinden sonra, bu alandaki tüm noktalara ulaşılamaz. Bunun yerine, yalnızca o alanın içindeki gömülü alt uzayda bulunan noktalar elde edilebilir. Bu gömülü alt-uzay, bir manifoldun matematiksel tanımını yerine getirir. PCA gibi bir doğrusal boyutsal küçültme tekniği için, bu alt-uzay sadece göreceli olarak önemsiz bir manifold olan sadece bir alt-uzaydır (örneğin bir hiper-düzlem). Ancak doğrusal olmayan boyut küçültme tekniği için, bu alt-alan daha karmaşık olabilir (örneğin kavisli bir hiper yüzey). Veri analizi amacıyla, bunların alt uzaylar olduğunun anlaşılması, manifold tanımını yerine getirdiklerini bilmekten çıkardığınız herhangi bir çıkarımdan çok daha önemlidir.