X ve XY arasındaki korelasyon

11

İki bağımsız rasgele değişken X ve Y varsa, X ve XY ürünü arasındaki korelasyon nedir? Bu bilinmiyorsa, en azından X ve Y'nin sıfır ortalama ile normal olması durumunda ne olacağını bilmek isterim, eğer bu daha kolay çözülürse.

correlation

— Roberto
kaynak

4

Bu soruyu motive eden nedir? Burada başka bir şeye değinmenin en iyi yol olup olmayacağını merak ediyorum. Herhangi bir nedenden ötürü XY değişkeni oluşturduğunuz bir çalışma mı yürütüyorsunuz?

— gung - Monica'yı eski durumuna getirin

13

Çözüm

Geçerli bir çözümün, mümkünse, ve değişkenlerinin ayrı özellikleri açısından korelasyonu ifade eden bir çözüm olacağını kabul ediyorum . Korelasyon Bilgisayar içinde monomials arasında kovaryanslarından hesaplama içerecektir ve . Bunu bir kerede yapmak ekonomiktir. Sadece gözlemleyin $X$ $Y$ $X$ $Y$

Zaman ve bağımsız olarak ve ve daha sonra, güç olan ve bağımsızdır; $X$ $Y$ $i$ $j$ $X^i$ $Y^j$
Bağımsız değişkenli bir ürünün beklentisi, beklentilerinin ürünüdür.

Bu, ve momentleri açısından formüller verecektir . $X$ $Y$

Hepsi bu kadar.

ayrıntılar

Anlar için vb. Yazın . Böylece, hesaplamaların mantıklı olduğu ve sonlu sayılar ürettiği sayıları için, $\mu_i(X) = E(X^i)$ $i,j,k,l$

\begin{aligned} Cov (X^{i} Y^{j}, X^{k} Y^{l}) & = E (X^{i} Y^{j} X^{k} Y^{l}) - E (X^{i} Y^{j}) E (X^{k} Y^{l}) \\ = μ_{i + k} (X) μ_{j + l} (Y) - μ_{i} (X) μ_{k} (X) μ_{j} (Y) μ_{l} (Y) . \end{aligned}

$\eqalign{ \operatorname{Cov}\left(X^iY^j, X^kY^l\right) &= E\left(X^iY^j X^kY^l\right) - E\left(X^iY^j\right) E\left(X^kY^l\right) \\&= \mu_{i+k}(X)\mu_{j+l}(Y) - \mu_i(X)\mu_k(X)\mu_j(Y)\mu_l(Y).}$

Herhangi bir rastgele değişkenin varyansının kendisiyle kovaryans olduğuna dikkat edin, bu nedenle varyanslar için herhangi bir özel hesaplama yapmak zorunda değiliz.

Şimdi, herhangi bir güçten, herhangi bir sayıda bağımsız rastgele değişkenin monomiallerini içeren anların nasıl hesaplanacağı açık olmalıdır. Bir uygulama olarak, bu sonucu varyansların kare köklerine bölünen kovaryans olan korelasyon tanımına uygulayın:

\begin{aligned} Cor (X, X Y) & = \frac{Cov (X^{1} Y^{0}, X^{1} Y^{1})}{\sqrt{Cov (X^{1} Y^{0}, X^{1} Y^{0}) Cov (X^{1} Y^{1}, X^{1} Y^{1})}} \\ = \frac{μ_{2} (X) μ_{1} (Y) - μ_{1} (X)^{2} μ_{1} (Y)}{\sqrt{(μ_{2} (X) - μ_{1} (X)^{2}) (μ_{2} (X) μ_{2} (Y) - μ_{1} (X)^{2} μ_{2} (Y)^{2})}} . \end{aligned}

$\eqalign{\operatorname{Cor}(X,XY) &= \frac{\operatorname{Cov}(X^1Y^0, X^1Y^1)}{\sqrt{\operatorname{Cov}(X^1Y^0, X^1Y^0)\ \operatorname{Cov}(X^1Y^1, X^1Y^1)}} \\ &=\frac{\mu_2(X)\mu_1(Y) - \mu_1(X)^2\mu_1(Y)}{\sqrt{\left(\mu_2(X)-\mu_1(X)^2\right)\left(\mu_2(X)\mu_2(Y)-\mu_1(X)^2\mu_2(Y)^2\right)}} . }$

Bunu orijinal değişkenlerin beklentileri, varyansları ve kovaryanslarıyla ilişkilendirmek istiyorsanız seçebileceğiniz çeşitli cebirsel basitleştirmeler vardır, ancak bunları burada gerçekleştirmek daha fazla içgörü sağlamaz.

— whuber
kaynak

14

toplam kovaryans ve bağımsızlık yasasını kullanarak $X$ $Y$

\begin{aligned} Cov (X, X Y) & = E Cov (X, X Y | Y) + Cov (E X | Y, E X Y | Y) \\ = E (Y Cov (X, X)) + Cov (E X, Y E X) \\ = E (Y Var X) + Cov (E X, Y E X) \\ = E Y Var X . \end{aligned}

$\begin{align} \mbox{Cov}(X,XY) &=E\mbox{Cov}(X,XY|Y)+\mbox{Cov}(EX|Y,EXY|Y) \\&=E(Y\mbox{Cov}(X,X)) +\mbox{Cov}(EX,YEX) \\&=E(Y\mbox{Var}X) +\mbox{Cov}(EX,YEX) \\&=EY\mbox{Var}X. \end{align}$

\begin{aligned} Var (X Y) & = E Var (X Y | Y) + Var E (X Y | Y) \\ = E (Y^{2} (Var X | Y)) + Var (Y (E X | Y)) \\ = E (Y^{2} Var X) + Var (Y E X) \\ = E (Y^{2}) Var X + (E X)^{2} Var Y \\ = Var X Var Y + (E Y)^{2} Var X + (E X)^{2} Var Y . \end{aligned}

$\begin{align} \mbox{Var}(XY) &= E\mbox{Var}(XY|Y) + \mbox{Var} E(XY|Y) \\&= E(Y^2 (\mbox{Var}X|Y)) + \mbox{Var} (Y (EX|Y)) \\&= E(Y^2 \mbox{Var}X) + \mbox{Var} (Y EX) \\&= E(Y^2) \mbox{Var}X + (EX)^2\mbox{Var} Y \\&= \mbox{Var}X\mbox{Var}Y+(EY)^2 \mbox{Var}X + (EX)^2\mbox{Var} Y . \end{align}$

Y

$Y$

Yukarıdaki kovaryans ve varyanstan, korelasyon, bazı cebirsel manipülasyonlardan sonra, iki varyasyon katsayısı açısından güzel bir şekilde ifade edilebilir.

\begin{aligned} corr (X, X Y) & = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{Var Y}{(E Y)^{2}} (1 + \frac{(E X)^{2}}{Var X})}} . \end{aligned}

$\begin{align} \mbox{corr}(X,XY) &=\frac1{\sqrt{ 1 + \frac{\text{Var}Y}{(EY)^2}\left(1 + \frac{(EX)^2}{\text{Var}X}\right) }}. \end{align}$

Bu sonucun simülasyonla kontrolü:

> n <- 1e+6
> x <- rexp(n,2)-2
> y <- rnorm(n,mean=5)
> cv2 <- function(x) var(x)/mean(x)^2
> 1/sqrt(1+cv2(y)*(1+1/cv2(x)))
[1] 0.844882
> cor(x,x*y)
[1] 0.8445373

— Jarle Tufto
kaynak

E (Y^{2} Var X) + Var (Y E X)

$E(Y^2\text{Var}X)+\text{Var}(YEX)$

E Cov (X, X Y | Y) = E Y Cov (X, X)

$E\text{Cov}(X, XY|Y)=EY\text{Cov}(X,X)$

Y

$Y$ bir veridir. Bazı adımlar için minimal bir açıklama öneririm.

— Antoni Parellada

1

Evet, eksik olan bazı parantezleri ve bazı açıklamaları ekledim. @Whuber'ın cevabını tercih ettiğimi itiraf etmeliyim.

— Jarle Tufto

5

$\rho(XY,X) = 0$ $\mathbb{E}(X^2Y) = \mathbb{E}[\mathbb{E}[ X^2Y | X]] = \mathbb{E}[X^2\mathbb{E}[Y|X]] = 0$ $cov(XY,X) = \mathbb{E}(X^2Y) - \mathbb{E}(XY).\mathbb{E}(X) = 0$

— Kledou
kaynak

-2

X ve XY arasındaki Doğrusal Korelasyon,

Corr (X, XY) = Cov (X, XY) / sqrt (var (X) * var (XY))

Cov (X, XY) = Toplama ((X-ortalama (X)) (XY-ortalama (XY)) / n

n - örnek büyüklüğü; var (X) = X'in varyansı; var (XY) = XY varyansı

— Sam Gladio
kaynak

1

Soru, verilerle değil rastgele değişkenlerle ilgilidir .

— whuber

2 rastgele değişkenin ilişkili olup olmadığını nasıl bulabiliriz? Sadece veri yoluyla. Yanlışsam düzelt. Özür.

— Sam Gladio

Rastgele değişkenlerin matematiksel özelliklerini kullanarak korelasyon teorik olarak hesaplanır. Örneğin, köprü tasarımının gücünü Newton köprüsü ilkelerini kullanarak hesaplamak, köprü inşa etmek ve onları test etmekle karşılaştırıldığında, aynı şeydir: teori ve veriler için farklı roller vardır ve bunlar birbirleriyle karıştırılmamalıdır .

— whuber