Binom rastgele değişkenlerin bir örneğinin ortalaması için standart hata

43

2 sonucu olan bir deneme çalıştırdığımı ve 2 sonucun altında yatan "doğru" dağılımın ve : parametreleriyle binom bir dağılım olduğunu farz ediyorum . $n$ $p$ ${\rm Binomial}(n, p)$

standart hatasını, varyansı biçiminden hesaplayabilirim : burada . Öyleyse, $SE_X = \frac{\sigma_X}{\sqrt{n}}$ ${\rm Binomial}(n, p)$

σ_{X}^{2} = n p q

$\sigma^{2}_{X} = npq$

q = 1 - p

$q = 1-p$

σ_{X} = \sqrt{n p q}

$\sigma_X=\sqrt{npq}$ . Standart hata için alıyorum:

S E_{X} = \sqrt{p q}

$SE_X=\sqrt{pq}$ , fakat bir yerlerde

olduğunu gördüm.

S E_{X} = \sqrt{\frac{p q}{n}}

$SE_X = \sqrt{\frac{pq}{n}}$ . Neyi yanlış yaptım?

binomial standard-error

— dürüst
kaynak

Bu makale, ortalama standart hatasını anlamak için çok yararlıdır influentialpoints.com/Training/...

— Sanghyun Lee

Benim googlingimden, binom dağılımı için güven aralıklarını alma konusuyla yakından ilgili olan konu oldukça karmaşık ve karmaşık görünüyor. Özellikle, bu formülden elde edilen ve "Wald Intervals" (bakınız en.wikipedia.org/wiki/Binomial_proportion_confidence_interval ) olan güven aralıkları gibi görünüyor , oldukça zayıf davranıyor ve kaçınılması gerekiyor. Daha fazla bilgi için jstor.org/stable/2676784?seq=1#metadata_info_tab_contents adresini ziyaret edin.

— aquirdturtle

58

Kullandığınız gibi görünüyor $n$ iki farklı şekilde iki kez - örnek büyüklüğü olarak ve Binom rasgele değişkeni oluşturan bernoulli denemelerin sayısı olarak hem; Herhangi bir belirsizliği ortadan kaldırmak için, ikincisine atıfta bulunmak için kullanacağım $k$ .

Eğer varsa $n$ bir bağımsız numune ${\rm Binomial}(k,p)$ dağılımı, örnek ortalaması varyansını

v a r (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = \frac{1}{n^{2}} \sum_{i = 1}^{n} v a r (X_{i}) = \frac{n v a r (X_{i})}{n^{2}} = \frac{v a r (X_{i})}{n} = \frac{k p q}{n}

${\rm var} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i} \right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} {\rm var}( X_{i} ) = \frac{ n {\rm var}(X_{i}) }{ n^2 } = \frac{ {\rm var}(X_{i})}{n} = \frac{ k pq }{n}$

burada ve aynı ortalamasıdır. Bu beri $q=1-p$ $\overline{X}$

(1) , ${\rm var}(cX) = c^2 {\rm var}(X)$ bir rastgele değişkenin için , herhangi bir sabit . $X$ $c$

(2) bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının varyansı, varyansların toplamına eşittir .

standart hatası , varyansın kareköküdür: $\overline{X}$ . Bu nedenle, $\sqrt{\frac{ k pq }{n}}$

Ne zaman , size işaret formülü olsun: $k = n$ $\sqrt{pq}$
Ne zaman ve Binom değişkenler sadece olan bernoulli denemeleri , size başka bir yerde gördüğüm formülü olsun: $k = 1$ $\sqrt{\frac{pq }{n}}$

— Makro
kaynak

3

Zaman

a, Bernoulli rastgele değişkenler, daha sonra

. Tüm

göre bir rasgele değişken sahip

başarı olasılığı ile yapılan denemelerde

, o zaman

X

$X$

v a r (X) = p q

${\rm var}(X) = pq$

X

$X$

n

$n$

p

$p$

v a r (X) = n p q

${\rm var}(X) = npq$

— Makro

2

Teşekkürler! Kafamı karıştırdın. Çok basit olduğu için üzgünüm, hala öğreniyorum :-)

— Frank

6

Öyleyse, Frank için herhangi bir c sabit (cX) = c

Var (x) sabitinin kullanıldığı gerçeğini kullandığımız açık mı? Oran örnek tahmini olduğu, X / n Yeni Var (x / n) = Var (x) / n olan

= NPQ / n

=-q / n ve CİNSEL bu kare köküdür. Tüm adımları hecelersek herkes için daha net olduğunu düşünüyorum.

^{2}

$^2$

^{2}

$^2$

^{2}

$^2$

— Michael Chernick

1

@MichaelChernick, bahsettiğiniz detayları açıklığa kavuşturdum. Sorunun tanımına dayanarak Frank'in bu gerçekleri bildiğini, ancak gelecekteki okuyucular için ayrıntıları içermesinin daha eğitici olacağına karar verdim.

— Makro

2

Sol Lago - Bu durumda k = 1. Bir madeni parayı 50 kez çevirdiyseniz ve başarı sayısını hesapladıktan sonra deneyi 50 kez tekrarladıysanız, k = n = 50 olur. Bir madeni para çevirme 1 veya 0 sonuçlanır. Bir Bernoulli rv

— B_Miner

9

İki binom dağılımını karıştırmak çok kolaydır:

başarı sayısının dağılımı
başarı oranının dağılımı

npq, başarıların sayısıdır, npq / n = pq ise başarıların oranıdır. Bu, farklı standart hata formülleriyle sonuçlanır.

— Vlad
kaynak

6

Buna şu şekilde bakabiliriz:

$n$ $Y$ $Y = \sum_{i=1}^n X_i$ $X_i$

$X_i$ $Y$

$Y$ $Y$

$pq$ $p$ $q = 1 – p$

$Y$ $V(Y) = V(\sum X_i) = \sum V(X_i)$ $V(X_i) = pq$ $n$ $V(Y) = \sum V(X_i) = npq$ $Y$ $npq$

$\hat p = \frac Y n$ $n$

$V(\frac Y n) = (\frac {1}{n^2})V(Y) = (\frac {1}{n^2})(npq) = pq/n$

$\hat p$ $\sqrt{pq/n}$

— Tarashankar
kaynak

$x$

x

$x$

V (\sum X_{i}) = \sum V (X_{i})

$V(\sum X_i)=\sum V(X_i)$

Son kesintide yazım hatası var, V (Y / n) = (1 / n ^ 2) * V (Y) = (1 / n ^ 2) * npq = pq / n doğru kesinti olmalı.

— Tarashankar

Özür dilerim, dizgi yaparken bunu tanıttım. Umarım şimdi sıralanır.

— Silverfish,

1

X_{i}

$X_i$

2

Ayrıca ilk hatada standart hata ile standart sapma arasında bir karışıklık olduğunu düşünüyorum. Standart sapma bir dağılımın varyansının sqrt'idir; Standart hata, bir numunenin tahmini ortalamasının, bu dağılımdan elde edilen standart sapması, yani, eğer o numuneyi sonsuz defa yaparsanız, gözlemleyeceğiniz araçların yayılmasıdır. İlki, dağıtımın kendine özgü bir özelliğidir; İkincisi, dağıtımın bir özelliği (ortalama) tahminine ilişkin kalitenizin bir ölçüsüdür. Başarısızlığın bilinmeyen olasılığını tahmin etmek için bir N Bernouilli denemesi yaptığınız zaman, k başarılarını gördükten sonra tahmin edilen p = k / N belirsizliğiniz, kestirilmiş oranın standart bir hatasıdır, burada sqrt (pq / N), q = 1 -p. Gerçek dağılım, bir P parametresidir, başarının gerçek olasılığı.

— Stan
kaynak