Deterministik bir dünyada şans operasyonu

15

Steven Pinker'in Doğamızın Daha İyi Melekleri kitabında ,

Olasılık bir perspektif meselesidir. Yeterince yakın mesafeden bakıldığında, bireysel olayların belirleyici nedenleri vardır. Bir bozuk para bile başlangıç koşullarından ve fizik yasalarından tahmin edilebilir ve yetenekli bir sihirbaz bu yasaları her zaman kafa atmak için kullanabilir. Yine de, bu olayların çok sayıda geniş açılı görüntüsünü almak için uzaklaştığımızda, bazen birbirimizi iptal eden ve bazen aynı yönde hizalanan çok sayıda nedenin toplamını görüyoruz. Fizikçi ve filozof Henri Poincare, ya çok sayıda cılız sebepler müthiş bir etkiye katıldığında ya da bildirimimizden kaçan küçük bir neden kaçırmayacağımız büyük bir etki belirlediğinde, deterministik bir dünyada şansın işleyişini gördüğümüzü açıkladı. .Örgütlü şiddet durumunda, birisi savaşa başlamak isteyebilir; gelip gelmeyecek olan fırsat anını bekler; düşmanı meşgul olmaya ya da geri çekilmeye karar verir; mermiler uçar; bombalar patladı; insanlar ölür. Her olay sinirbilim, fizik ve fizyoloji yasalarıyla belirlenebilir. Ancak toplamda, bu matrise giren birçok neden bazen aşırı kombinasyonlara karıştırılabilir. (s.209)

Özellikle cesur cümle ile ilgileniyorum, ama gerisini bağlam için veriyorum. Benim sorum: Poincare'nin tanımladığı iki süreci tanımlamanın istatistiksel yolları var mı? İşte tahminlerim:

1) "Çok sayıda cılız sebep müthiş bir etki yaratır." “Çok sayıda sebep” ve “toplanma” bana merkezi limit teoremi gibi geliyor . Ancak CLT'nin (klasik tanımında), nedenlerin deterministik etkiler değil rastgele değişkenler olması gerekir. Buradaki standart belirleyici etkileri bir çeşit rastgele değişken olarak tahmin etmek için standart yöntem midir?

2) "Bildirimimizden kaçan küçük bir neden, kaçıramayacağımız büyük bir etki belirler." Bana öyle geliyor ki, bunu bir çeşit gizli Markov modeli olarak düşünebilirsiniz . Fakat bir HMM'deki (ölçülemez) durum geçiş olasılıkları, sadece tanım gereği belirleyici olmayan olasılıklardır.

probability central-limit-theorem intuition

— Andy McKenzie
kaynak

7

İlginç düşünce (+1).

1) ve 2) durumlarında sorun aynıdır: tam bilgiye sahip değiliz. Ve olasılık bilgi eksikliğinin bir ölçüsüdür.

1) zayıf neden sadece belirleyici olabilir, ama hangi önemli nedenleri yapmaktadır deterministik işlemle bilmek imkânsızdır. Gazdaki molekülleri düşünün. Mekanik yasaları geçerlidir, burada rastgele olan nedir? Bize gizlenen bilgiler: hangi molekül hangi hızda? CLT geçerlidir Yani, orada sistemdeki rastgelelik, ama değil çünkü bizim de rasgelelik olduğundan sistemin temsili .

2) HMM'de bu durumda mutlaka bulunmayan bir zaman bileşeni vardır. Benim yorumum öncekiyle aynı, sistem rastgele olmayabilir, ancak durumuna erişimimizin bir miktar rastgele olması var.

EDIT : Poincare bu iki durum için farklı bir istatistiksel yaklaşım düşünüp düşünmediğini bilmiyorum. Durum 1) varialpları biliyoruz, ancak ölçemiyoruz çünkü çok fazla var ve çok küçükler. Durum 2) değişkenleri bilmiyoruz. Her iki şekilde de, varsayımlar yapmaya ve gözlemlenebilir olanı elimizden gelenin en iyisini modellemeye başlarsınız ve durum 2'de genellikle Normallik olduğunu varsayıyoruz.

Ama yine de, eğer bir fark olsaydı, bunun ortaya çıkacağını düşünüyorum . Tüm sistemler cılız sebeplerin toplamı ile belirlenirse, fiziksel dünyanın tüm rasgele değişkenleri Gauss olacaktır. Açıkçası, durum böyle değil. Neden? Çünkü ölçek önemlidir. Neden? Çünkü yeni mülkler daha küçük ölçekte etkileşimlerden doğar ve bu yeni mülklerin Gauss olması gerekmez. Aslında, ortaya çıkacak istatistiksel bir teorimiz yok (bildiğim kadarıyla) ama belki bir gün yapacağız. O zaman 1) ve 2) vakaları için farklı istatistiksel yaklaşımların olması gerekecek.

— gui11aume
kaynak

1

Cevap için teşekkürler. Katılıyorum, her ikisi de tam bilgiye sahip olmadığımız gerçeğine iniyor - bu onu çerçevelemenin iyi bir yoludur. Ancak, iki vakayı daha fazla ayıran bir cevap görmek istiyorum. Poincare ne düşünüyordu?

— Andy McKenzie

Endişe duyduğunuzu görüyorum. Yanıtımı, elimden gelenin en iyisini yapmaya çalışmak için düzenledim.

— gui11aume

4

Açıklamada çok fazla okuduğunuzu düşünüyorum. Her şey dünyanın deterministik olduğu ve insanların onu olasılıkla modellediği öncülünde yatıyor gibi görünüyor, çünkü bu şekilde neler olup bittiğini yaklaşık olarak tahmin etmek, fiziğin tüm ayrıntılarını ve onu tanımlayan diğer matematiksel denklemleri gözden geçirmekten daha kolay. Bence determinizm hakkında özellikle fizikçi ve istatistikçiler arasında rastlantısal etkilere karşı uzun süredir devam eden bir tartışma var. Özellikle cesur olduğunuz şeyle ilgili aşağıdaki cümleler beni etkiledi. “Başlangıç koşullarından ve fizik yasalarından bir bozuk para bile tahmin edilebilir ve yetenekli bir sihirbaz bu yasaları her zaman kafa atmak için kullanabilir.” 1970'lerin sonlarında Stanford'da yüksek lisans öğrencisiyken Persi Diaconis bir istatistikçi ve bir sihirbaz ve bir fizikçi Joe Keller, fizik yasalarını, paravanın, veya başları açık ve tam değil; y parmak çevirme kuvvetinin madeni paraya nasıl çarptığı. Bence onlar çalışmış olabilir. Ancak bir sihirbazın persi diaconis'in büyülü eğitimi ve istatistiksel bilgisi ile bile düşünmek madeni parayı çevirebilir ve her seferinde kafa karıştırıcı olabilir. Başlangıç koşullarını tekrarlamanın imkansız olduğunu gördüklerine ve kaos teorisinin geçerli olduğunu düşünüyorum. Başlangıçtaki küçük pertürbasyonların madalyonun uçuşu üzerinde büyük etkileri vardır ve sonucu öngörülemez hale getirir. Bir istatistikçi olarak dünya deterministik stokastik modeller bile karmaşık belirleyici yasalardan daha iyi bir sonuç tahmin etme işi yapar diyebilirim. Fizik basit olduğunda deterministik yasalar kullanılabilir ve kullanılmalıdır. Örneğin Newton'un yerçekimi yasası, bir nesnenin yere çarptığında yerden 10 fit yukarıda düştüğü hızı belirleme ve d = gt denklemini kullanmada iyi çalışır. $^2$

— Michael R. Chernick
kaynak

2

Michael Chernick, Diaconis hakkında bu makaleyle ilgileniyor olabilirsiniz .

— Camgöbeği

"... insanlar bunu olasılıkla modelledi çünkü ben bu şekilde neler olup bittiğini tahmin etmek daha kolay ..." ile "... insanlar olasılıkla modelliyor çünkü küçük detayları birleştirmek çok zor çoğu zaman önemli değil, ... ". Ayrıca, daha felsefi / kavramsal bir soruya "pratik" bir yaklaşım sergiliyorsunuz. Kaos teorisi sadece "pratikte" bir sorundur, çünkü sayıların keyfi olarak doğru bir temsiline sahip değiliz. Deterministik yasalarla ilgili bir başka sorun, genellikle ölçemediğimiz şeylere bağlı olmasıdır.

— olasılık

1

Teşekkürler Camgöbeği. Bu makaleyi görmedim ama Persi hakkında birkaç tane daha gördüm ve onu hem yirmili yaşlarımızın sonlarında hem de 1974-1978'den otuzlu yaşlarındayken olasılık teorisini ve zaman serilerini öğreten eski bir yardımcı profesör olarak çok iyi biliyordum. . Ayrıca Persi beni ve Michael Cohen'i (Michael Cohen ve ben her iki lisansüstü öğrenciyken), bu tür tıraş için önyargıların ne olacağı konusundaki teorisini doğrulamak için yüzlerce veya binlerce kez bir bez üzerinde zarları traş etti.

— Michael R. Chernick

1

İyi bir deneyci gibi bize tıraş olduklarını söylemedi ve gözle farkedilir hale getirmek için alandaki bir fark kadar büyük değildi. Tabii ki traş zarları ile bir kumar kuruluşunu hile yapmak istersen, farkedilir hale getirmek için çok fazla tıraş olamazdın ve henüz çok az değil, sonsuza kadar iyi kazançlar elde etmeyi ve kumarbazların harap olmasını önler. Her şeyden önce deney hakkında biraz şüphemiz vardı, çünkü her iki tarafın da zamanın 1 / 6'sına çok yaklaştığını doğrulamak için pek mantıklı değildi.

— Michael R.Chernick

Ayrıca, kafalar lehine adil bir madeni paraya önyargılı olabileceğinizi göstermek için bir deneyim yapmak, her seferinde bir kafa almaktan uzaktır. İstatistikçiler piyango komisyonları tarafından adil olduklarından emin olmak için makinelerini test etmek için kullanılır.

— Michael R. Chernick

4

$2^{-N}$ $2^N$

$N$ $a_n \sim b_n$ $\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1$

(\binom{N}{N f}) \sim \sqrt{\frac{1}{2 π N f (1 - f)}} \exp (- N H (f))

${N\choose Nf}\sim\sqrt{\frac{1}{2\pi Nf(1-f)}}\exp\left(-NH(f)\right)$

Burada entropi işlevidir. Ayrıca, için ikinci sıra Taylor serimiz var ( modu hakkında ): $H(f)=f\log\left(f\right)+(1-f)\log\left(1-f\right)$ $H(f)$ $\frac{1}{2}$

H (f) \approx - \log (2) + 2 (f - \frac{1}{2})^{2}

$H(f)\approx-\log\left(2\right)+2(f-\frac{1}{2})^2$

Yani bizde de var:

(\binom{N}{N f}) \sim 2^{N} \sqrt{\frac{1}{2 π N f (1 - f)}} \exp (- \frac{2}{N} (N f - \frac{N}{2})^{2})

${N\choose Nf}\sim 2^N\sqrt{\frac{1}{2\pi Nf(1-f)}}\exp\left(-\frac{2}{N}(Nf-\frac{N}{2})^2\right)$

Bu sınırların anlamı, bir şeyin olabileceği olası yolları (nedensel etki analizi gibi) saymayı içeren herhangi bir prosedürün normal dağılıma yol açmasıdır. Bu rastgele veya deterministik olmasına bağlı değildir . Merkezi sınır teoreminin söylediği, belirli bir olay kümesinin gerçekleşebileceği yolların çoğunun normal bir dağılımla iyi yaklaştığıdır. $f$

— probabilityislogic
kaynak

1

Teşekkür ederim. Bence OP, cesur cümleyi CLT ile birleştirmeye çok fazla okuma yapmıyordu. Ama bunu doğru anladığımdan emin olabilir miyim? Büyük N için, bir seferde Nf alınan N şeylerinin kombinasyon sayısının, varyans parametresi Nf (1-F) ve ortalama parametre N / 2 ile yaklaşık olarak normal yoğunluğa eşit olduğunu mu söylüyorsunuz? Ayrıca bu sadece olasılıkla bağlantısı olmayan bir asimtotik matematiksel özelliktir? Quincunx cihazını kullanarak merkezi limit teoreminin De Moivre - LaPlace versiyonunu çalışırken görmek kadar şaşırtıcı!

— Michael R.Chernick

Teşekkürler, olasılıkla normal dağılım hakkında düşünmek çok yararlıdır. Ancak, 1) bu ilk sınırın nasıl ortaya çıktığını ve 2) Taylor serisi genişlemesini hangi noktada yaptığınızı anlamıyorum.

— Andy McKenzie

1

notasyonunuzun ne anlama geldiğini açıklığa kavuşturabilir misiniz ? gösteren standart asimtotik gösterim olamaz . Sol taraf çok büyük ve sağ taraf çok küçük! Belki bu çözüldükten sonra, @Michael'i çok şaşırtmayacaktır çünkü dağıtımdaki yakınsama (ve hatta böyle bir yerel sınır yasası ) monoton olarak azalmayan fonksiyonların belirli dizileri hakkında analitik bir açıklamadır ve bu yüzden kalbinde herhangi bir "olasılıksal kavram" a bağlı.

a_{n} \sim b_{n}

$a_n \sim b_n$

a_{n} / b_{n} \to 1

$a_n / b_n \to 1$

— kardinal

Düzenlemeler daha iyi görünüyor. Yine de, ilk ekran denkleminde hala eksik bir terim olmalıdır. :)

— kardinal

@cardinal - ilk denklem, her faktöriyel için karıştırıcı yaklaşımı ile doğru. içeren terimler üstel içinde iptal edilir.

\log (N)

$\log(N)$

— probabilityislogic

0

Pinker'in kitabından alıntı ve deterministik bir dünya fikri, Kuantum Mekaniği ve Heisenberg'in Belirsiz Prensibi'ni tamamen görmezden gelir. Bir dedektörün yanına az miktarda radyoaktif bir şey koyduğunuzu ve miktarları ve mesafeleri önceden belirlenmiş bir zaman aralığında% 50'lik bir bozulma tespit etme şansı verecek şekilde düzenlediğinizi düşünün. Şimdi dedektörü, bir bozulma tespit edildiğinde son derece önemli bir şey yapacak bir röleye bağlayın ve cihazı bir kez ve sadece bir kez çalıştırın.

Şimdi geleceğin doğası gereği öngörülemez olduğu bir durum yarattınız. (Bu örnek, 1960'ların ortalarında MIT'de ikinci veya ikinci sınıf fizik öğreten tarafından tarif edilen bir örnekten alınmıştır.)

— Emil Friedman
kaynak