“Kesinlikle sürekli rasgele değişken” mi “Sürekli rasgele değişken” mi?

Valentin V. Petrov'un "Olasılık Teorisinin Sınır Teoremleri" kitabında, bir dağılımın "sürekli" ve "kesinlikle sürekli" tanımları arasında bir ayrım gördüm.

$(*)$ "... Gerçek çizginin sonlu veya sayılabilir kümesi için ise rastgele değişken dağılımının sürekli olduğu söylenir. olursa , Lebesgue'in tüm Borel setleri için sıfır ölçülür ... " $X$ $P\left(X \in B\right)=0$ $B$ $P\left(X \in B\right)=0$ $B$

Bildiğim kavram:

$(\#)$ "Rastgele bir değişkenin sürekli Kümülatif Dağıtım Fonksiyonu varsa, kesinlikle süreklidir."

$\textbf{My questions are:}$ ve içindeki "mutlak süreklilik" hakkındaki iki açıklama aynı şey hakkında mı konuşuyor? Evetse, bir açıklamayı diğerine nasıl çevirebilirim? $(*)$ $(\#)$

Teşekkür ederim!

probability distributions random-variable

— Tian
kaynak

Kesintisiz ama kesinlikle sürekli olmayan bir dağıtımın standart örneği , burada grafiğe tabi tutulduğu ve ondan numune almak için kodun verildiği stats.stackexchange.com/questions/229556/… adresinde tartışılmaktadır .

— whuber

Açıklamalar farklıdır: sadece ilk doğrudur. Bu cevap nasıl ve neden olduğunu açıklar. $(*)$

Sürekli dağılımlar

Bir "sürekli" dağılım , olağan bir sürekli fonksiyon anlamında süreklidir . Bir tanım (genellikle ilk kişi eğitimde karşılaşma) olduğu her ve herhangi bir sayıda bir vardır (bağlı ve ) olan değerleri ile arasında -neighborhood fazla göre değişir gelen . $F$ $x$ $\epsilon\gt 0$ $\delta$ $x$ $\epsilon$ $F$ $\delta$ $x$ $\epsilon$ $F(x)$

Bu gösteren bu kısa bir adım olduğu sürekli bir zaman rastgele değişken dağılımı , daha sonra herhangi bir sayı için . Sonuçta, süreklilik tanımı kadar kadar küçük yapmak için daraltabileceğiniz anlamına gelir ve (1) beri bu olasılık hayır daha ve (2) keyfi küçük olabilir, bu şu . Sayılabilir olasılık katkısı, bu sonucu herhangi bir sonlu veya sayılabilir küme genişletir . $F$ $X$ $\Pr(X=x)=0$ $x$ $\delta$ $\Pr(X\in (x-\delta, x+\delta))$ $\epsilon \gt 0$ $\Pr(X=x)$ $\epsilon$ $\Pr(X=x)=0$ $B$

Kesinlikle sürekli dağılımlar

Tüm dağılım fonksiyonları pozitif, sonlu tanımlayan önlemleri tarafından belirlenir $F$ $\mu_F$

μ_{F} ((a, b]) = F (b) - F (a) .

$\mu_F((a,b]) = F(b) - F(a).$

Mutlak süreklilik bir ölçü teorisi kavramıdır. Her ölçülebilir küme , anlamına geldiğinde, bir ölçüm başka bir ölçüme göre ( her ikisi de aynı sigma cebirinde tanımlanmıştır) kesinlikle süreklidir . Göre başka bir deyişle, , setler bir "küçük" (sıfır ölçüsü) vardır atar "büyük" (sıfır olmayan) olasılığı. $\mu_F$ $\lambda$ $E$ $\lambda(E)=0$ $\mu_F(E)=0$ $\lambda$ $\mu_F$

olağan Lebesgue ölçüsü olarak alacağız , bunun için bir aralığın uzunluğudur. ikinci yarısı olasılık ölçüsünün olduğunu belirtir. Lebesgue ölçüsü ile ilgili olarak kesinlikle süreklidir. $\lambda$ $\lambda((a,b]) = b-a$ $(*)$ $\mu_F(B)=\Pr(X\in B)$

Mutlak süreklilik farklılaşabilirlik ile ilgilidir. (Bazı noktasında birbirine göre bir ölçü türevi ), sezgisel bir kavramdır: ölçülebilir bölgelerinden kümesini almak değerine düşürmek ve bu mahalle iki ölçü karşılaştırın. Hangi semt dizisi seçilirse seçilsin, her zaman aynı sınıra yaklaşırlarsa, bu sınır türevdir. (Teknik bir sorun var: Bu mahalleleri "patolojik" şekillere sahip olmamaları için kısıtlamanız gerekiyor. Bu, her mahallenin içinde bulunduğu bölgenin ihmal edilemez bir bölümünü işgal etmesini gerektirerek yapılabilir.) $x$ $x$ $x$

Bu anlamda farklılaşma, sürekli dağılımda olasılık tanımı nedir? adresleme.

Let yazma türevi için göre . İlgili teorem - Kalkülüsün Temel Teoreminin ölçü teorik bir versiyonudur - yardımcılar $D_\lambda(\mu_F)$ $\mu_F$ $\lambda$

$\mu_F$ ile ilgili olarak ve yalnızca ise her ölçülebilir kümesi için . [Rudin, Teorem 8.6] $\lambda$
$μ_{F} (E) = \int_{E} (D_{λ} μ_{F}) (x) d λ$ $\mu_F(E) = \int_E \left(D_\lambda \mu_F\right)(x)\,\mathrm{d}\lambda$ $E$

Diğer bir deyişle, (mutlak sürekliliğini göre ) bir varlığına denk yoğunluk fonksiyonu . $\mu_F$ $\lambda$ $D_\lambda(\mu_F)$

özet

Bir dağıtım zaman süreklidir bir fonksiyonu olarak süreklidir: sezgisel, hiç yok "atlayışları." $F$ $F$
dağılımı , yoğunluk fonksiyonuna (Lebesgue ölçüsüne göre) sahip olduğunda kesinlikle süreklidir. $F$

İki çeşit sürekliliğin eşdeğer olmadığı , https://stats.stackexchange.com/a/229561/919 adresinde anlatılanlar gibi örneklerle gösterilmiştir . Bu ünlü Cantor işlevidir . Bu işlev için, neredeyse her yerde yataydır (grafiği ), hemen hemen her yerde sıfırdır ve bu nedenle . Bu açıkça doğru değerini vermez (toplam olasılık aksiyomuna göre). $F$ $D_\lambda(\mu_F)$ $\int_{\mathbb{R}} D_\lambda(\mu_F)(x)d\lambda = \int_{\mathbb{R}}0 d\lambda = 0$ $1$

Yorumlar

İstatistiksel uygulamalarda kullanılan hemen hemen tüm dağılımlar kesinlikle süreklidir, hiçbir yerde sürekli (ayrık) veya bunların karışımları yoktur, bu nedenle süreklilik ve mutlak süreklilik arasındaki ayrım genellikle göz ardı edilir. Bununla birlikte, bu ayrımı takdir etmemek, özellikle titizliğin en çok ihtiyaç duyulduğu durumlarda çamurlu akıl yürütmeye ve kötü sezgiye yol açabilir: yani, bir durum kafa karıştırıcı veya sezgisel olmadığında, bizi doğru sonuçlara götürmek için matematiğe güveniriz. Bu yüzden pratikte bu şeyleri genellikle çok fazla yapmıyoruz, ancak herkes bunu bilmeli.

Referans

Rudin, Walter. Gerçek ve Karmaşık Analiz . McGraw-Hill, 1974: bölüm 6.2 (Mutlak Süreklilik) ve 8.1 (Tedbirlerin Türevleri).

— whuber
kaynak

Diğer uygulamalarda dağıtımlar kesinlikle devam etmez. Bunun bir örneği, Cantor'un dağıtımı gibi özelliklere sahip dağılımlara yol açan, küçük baltaların at nalı bol olduğu dinamik sistemlerde verilebilir.

— kjetil b halvorsen