Pillai izi ve Hotelling-Lawley izi genellemesi var mı?

Çok değişkenli çoklu regresyon (vektör regresörü ve regresyonu) ortamında, genel hipotez için dört ana testin (Wilk's Lambda, Pillai-Bartlett, Hotelling-Lawley ve Roy'un En Büyük Kökü) matrisinin öz değerlerine bağlıdır. , burada ve 'açıklanmış' ve 'toplam' varyasyon matrisleridir. $H E^{-1}$ $H$ $E$

Pillai ve Hotelling-Lawley istatistiklerinin her ikisinin de olarak ifade edilebileceğini fark etmiştim. sırasıyla, . ve popülasyon analogları için tanımlanan bu izin dağılımının vakası için ilgi çekici olduğu bir uygulamaya bakıyorum . (benim çalışmamdaki modulo hataları.) General için örnek istatistiklerin bilinen bir birleşimi veya dört klasik testin iki veya daha fazlasını yakalayan başka bir genelleme olup olmadığını merak ediyorum . için veya eşit olmadığının farkındayım

ψ_{κ} = Tr (H {[κ H + E]}^{- 1}),

$\psi_{\kappa} = \mbox{Tr}\left(H\left[\kappa H + E\right]^{-1}\right),$

κ = 1, 0

$\kappa = 1, 0$

H

$H$

E

$E$

κ = 2

$\kappa = 2$

κ

$\kappa$

κ

$\kappa$

0

$0$

1

$1$ , pay artık sıfırın altında bir Ki-kare gibi görünmüyor ve bu nedenle merkezi bir F yaklaşımı şüpheli görünüyor, bu yüzden belki de bu bir çıkmaz sokak.

Ben null altında ( yani regresyon katsayılarının gerçek matrisinin tümü sıfır) ve alternatif altında dağılımı konusunda bir araştırma olmasını umuyorum . Özellikle vakası ile ilgileniyorum , ancak genel vakası üzerinde çalışma varsa , elbette bunu kullanabilirim. $\psi_{\kappa}$ $\kappa = 2$ $\kappa$

— shabbychef
kaynak

Bekle, , 'E'plained varyasyonu ve ' T'otal varyasyon mu? Sadece anımsatıcılarımı kontrol ediyorum.

H

$H$

E

$E$

— kardinal

@cardinal, bu doğru. Ne zaman korelasyon katsayıları için çok değişkenli en küçük kareler uyan, biz var ve Michael Friendly'tan (kelimenin tam anlamıyla) büyük bir resme genel bakış benim için oldukça faydalı oldu: psych.yorku.ca/lab/psy6140/lectures/…

\hat{B}

$\hat{B}$

H = {\hat{B}}^{⊤} (X^{⊤} X) \hat{B}

$H=\hat{B}^{\top} \left(X^{\top}X\right)\hat{B}$

E = {(Y - X \hat{B})}^{⊤} (Y - X \hat{B}) .

$E=\left(Y - X\hat{B}\right)^{\top}\left(Y - X\hat{B}\right).$

— shabbychef

Teşekkürler! Bir göz atacağım. (Bu arada, harflerin seçimine göre biraz alay ediyordum, 'açıkladı' için 'h' ve 'toplam' için 'e'.) Bu arada ilginç bir soru; (+1) benden.

— kardinal

@ cardinal Ben şaka fark için yetersiz kafein oldu. Evet, anımsatıcılar kötüdür, ancak ve (ve ) seçimi oldukça standarttır.

H

$H$

E

$E$

T = H + E

$T=H+E$

— Haziran'da shabbychef

Şaka, fark etmek için çok fazla kafein gerektirecek kadar kötüydü.

— kardinal

Üretken genellemelerin,

bu testlerden bazıları normlarıdır, dolayısıyla Hotelling- izlemesi ve Roy'un en büyük kökü normu, . ${\rm spec}[HE^{-1}]=\{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\}$ $l_1$ $\| \{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\} \|_1$ $l_\infty$ $\| \{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\} \|_\infty$
bu testlerden bazıları matrisinin bir normu olabilir , örneğin Roy'un en büyük kökü spektral veya , norm . $HE^{-1}$ $l_2$ $\| H E^{-1} \|_2$
bazı testler genel entropi formunda olabilir , örneğin, Hotelling-Lawley'in izi GE (1), Roy'un en büyük kökü GE ( ) ve Wilks , , her biri tekdüze bir dönüşüm. $\infty$ $\Lambda$ $\{1+\lambda_1, \ldots, 1+\lambda_p\}$

Diğer normlar veya diğer genelleştirilmiş entropi parametreleri sağlandığında, anlamlı olabilecek başka istatistikler de bulunabilir. Yine de bunlardan herhangi birinin üreteceğinden . $\psi_2$

— StasK
kaynak

Sanırım , burada özdeğerleridir . Ama bu beni hiçbir yere götürmüyor. Özdeğerlerin toplamlarının dağılımı hakkında yeterince bilgim yok ...

ψ_{κ} = \sum_{i} \frac{λ_{i}}{1 + κ λ_{i}}

$\psi_{\kappa} = \sum_i \frac{\lambda_i}{1 + \kappa\lambda_i}$

λ_{i}

$\lambda_i$

H E^{- 1}

$HE^{-1}$

— shabbychef